5 Contoh Soal Logaritma (Tingkat Lanjut) dan Pembahasannya

By | October 29, 2017

idschool.net – Materi logaritma biasanya diberikan di awal kelas X. Materi yang diberikan mencakup banyak hal, mulai dari definis dan sifat logaritma. Definisi dan sifat logaritma menjadi bagian pokok yang wajib dipelajari terlebih dahulu sebelum mencoba berbagai variasi soa tentang logaritma. Jika sobat idschool belum memahami mengenai apa itu fungsi logaritma, bisa baca definisinya di sini. Pada halaman 5 Contoh soal (Tingkat Lanjut) dan Pembahasannya ini, sobat idschool akan diberi variasi soal mengenai logaritma. Contoh soal yang diberikan memerlukan penalaran setara dengan ujian masuk perguruan tinggi negeri. Jika sobat idschool belum menguasai dasar logaritma bisa pelajari terlebih dahulu contoh soal yang cuku mudah di sini. Oke, di bawah ini idschool akan memberikan 5 contoh soal (tingkat lanjut) dan pembahasannya.

Soal 1

Jika nilai a = 0,9090… dan b = 1,331 maka ^{a}log \; b sama dengan ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  -3 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  -2 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  -\frac{5}{2} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  -1 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  - \frac{1}{3} \]

Pembahasan:
Pertama, ubah nilai a = 0,9090…. dalam bentuk pecahan desimal. Caranya adalah sebagai berikut.

    \[ \; \; a = 0,9090... \]

    \[ 100a = 90,909 \]

Sehingga,
 
Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya
 
Jadi, nilai desimal dari 0,9090… adalah \frac{10}{11}. Selanjutnya menentukan nilai desimal dari 1,331 yaitu

    \[1,331= \frac{1.331}{1.000} \]

    \[ ^{a}log \; b \; = \; \frac{log \; b}{log \; a} \]

    \[ = \; \frac{log \; \frac{1.331}{1.000}}{log \; \frac{10}{11}} \]

    \[ = \; \frac{log \; \left( \frac{11}{10} \right) ^{3}}{log \; \frac{10}{11}} \]

    \[ = \; \frac{log \; 3 \cdot \frac{11}{10}}{log \; \left( \frac{10}{11} \right)} \]

    \[ = \; \frac{log \; 3 \cdot \left( 10 - log \; 11 \right)}{- \left( log \; 11 - log 10 \right)} \]

    \[ = \; \frac{3}{-1} = -3\]

 
Jawaban: A

 
 

Soal 2

Jika nilai x = 0,53777… dan y = 0,7333… maka nilai ^{x}log \; y sama dengan ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  -3 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  -2,5 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  -2 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  -0,5 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  0,5 \]

Pembahasan:
Pertama, ubah nilai x dan y menjadi bentuk pecahan desimal. Caranya adalah sebagai berikut.
 
Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya

Sehingga,

    \[ ^{x}log \; y \; = \frac{log \; y}{log \; x} \]

    \[ = \frac{log \; \left( \frac{11}{15}\right)}{log \; \left( \frac{121}{225}\right)} \]

    \[ = \frac{log \; \left( \frac{11}{15}\right)}{log \; \left( \frac{11}{15}\right)^{2}} \]

    \[ = \frac{log \; \left( \frac{11}{15}\right)}{2 \cdot log \; \left( \frac{11}{15}\right)} \]

    \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{log \; \left( \frac{11}{15}\right)}{log \; \left( \frac{11}{15}\right)} \]

    \[ = \frac{1}{2} = 0,5 \]

 
Jawaban: E

 
 

Soal 3

Tentukan nilai dari persamaan di bawah!

    \[ log \left( \sqrt{7+\sqrt{45}} - \sqrt{7 - \sqrt{45}} \right) = .... \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  -2 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  2^{-1} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  2^{0} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  2^{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  2^{3} \]

 
Pembahasan:
Sebelumnya, ingat kembali rumus pada pangkat dua di bawah!
 
Contoh Soal Logaritma (Tingkat Lanjut) dan Pembahasannya

Rumus di atas akan membantu sobat idschool untuk menyelesaikann soal yang diberikan seperti di atas. Untuk menyelesaikan soal di atas, kita perlu mengubah \sqrt{7+\sqrt{45}} dan \sqrt{7 - \sqrt{45}} sesuai bentuk rumus umum di atas. Caranya adalah sebagai berikut.

    \[ \sqrt{7+\sqrt{45}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{11,25}} \]

    \[ = \sqrt{ \left( \frac{45}{10} + \frac{25}{10} \right) + 2\sqrt{\frac{45}{10} \cdot \frac{25}{10}}} \]

    \[ = \sqrt{\frac{45}{10}} + \sqrt{ \frac{25}{10} } \]

 

    \[ \sqrt{7 - \sqrt{45}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{11,25}} \]

    \[ = \sqrt{ \left( \frac{45}{10} + \frac{25}{10} \right) - 2\sqrt{\frac{45}{10} \cdot \frac{25}{10}}} \]

    \[ = \sqrt{\frac{45}{10}} - \sqrt{ \frac{25}{10} } \]

 

    \[ log \; \left( \sqrt{7+\sqrt{45}} - \sqrt{7 - \sqrt{45}} \right)\]

    \[ = log \; \left( \sqrt{\frac{45}{10}} + \sqrt{ \frac{25}{10} } - \left( \sqrt{\frac{45}{10}} - \sqrt{ \frac{25}{10} } \right) \right) \]

    \[ = log \; \left( \sqrt{\frac{45}{10}} + \sqrt{ \frac{25}{10} } - \sqrt{\frac{45}{10}} + \sqrt{ \frac{25}{10} } \right) \]

    \[ = log \; \left( 2 \cdot \sqrt{\frac{25}{10}} \right) \]

    \[ = log \; \left( \sqrt{\frac{100}{10}} \right) \]

    \[ = log \; \sqrt{10} \]

    \[ = log \; 10^{\frac{1}{2}} \]

    \[ = \frac{1}{2}  \cdot log \; 10 \]

    \[ = \frac{1}{2}  = 2^{-1} \]

 
Jawaban: B

 
 

Soal 4

Tentukan nilali dari persamaan di bawah!

    \[ ^{8}log \sqrt{8+2\sqrt{12}} + ^{8}log\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = .... \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \frac{6}{3} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  \frac{5}{3} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  \frac{4}{3} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  \frac{3}{3} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \frac{2}{3} \]

 
Pembahasan:
Sebelumnya, ingat kembali rumus pada pangkat dua di bawah!
 
Contoh Soal Logaritma (Tingkat Lanjut) dan Pembahasannya

 
Rumus di atas akan membantu sobat idschool untuk menyelesaikan soal ke empat ini. Pertama, sederhanakan bentuk \sqrt{8+2\sqrt{12}} dan \sqrt{8 - 4\sqrt{3}}.
 

    \[ \sqrt{8+2\sqrt{12}} = \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6 \cdot 2}}\]

    \[ = \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6 \cdot 2}} \]

    \[ = \sqrt{6} + \sqrt{2} \]

 

    \[ \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}} \]

    \[ = \sqrt{8 - 2\sqrt{12}} \]

    \[ = \sqrt{(6+2)-2\sqrt{6 \cdot 2}} \]

    \[ = \sqrt{6} - \sqrt{2} \]

 
Sehingga,

    \[ ^{8}log \; \sqrt{8+2\sqrt{12}} + ^{8}log\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} \]

    \[ = \; ^{8}log \; \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) + ^{8}log \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

    \[ = \; ^{8}log \; \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \cdot \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

    \[ = \; ^{8}log \; \left(6 - 2 \right) \]

    \[ = \; ^{8}log \; 4 \]

    \[ = \; ^{2^{3}} log \; 2^{2} \]

    \[ = \;  \frac{2}{3} \cdot ^{2}log \; 2 = \frac{2}{3} \]

 
Jawaban: E

 
 

Soal 5

Jika diketahui nilai

    \[ n = 0,111.... \]

    \[ m = \sqrt{90 - \sqrt{90 \sqrt{90 - ... }}} \]

Maka, nilai ^{n}log \; m = ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  -2 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  -1 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  1 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  2 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  3 \]

 
Pembahasan:
Pertama, ubah nilai n = 0,111… menjadi pecahan desimal. Caranya adalah seperti berikut.
 
Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya
 
Selanjutnya tentukan nilai m dengan cara seperti berikut.
 
Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya
 
Selesaikan persamaan kuadrat m^{2}+m-90=0 untuk mendapatkan nilai m.

    \[ m^{2}+m-90=0 \]

    \[ (m+10)(m-9)=0 \]

    \[ m=-10 \; \textrm{atau} \; m = 9 \]

Nilai yang memenuhi adalah m = 9, karena tidak ada nilai negatif yang dapat diakar.
Maka,

    \[ ^{n}log \; m = \; ^{\frac{1}{9}}log \; 9 \]

    \[ = \; ^{9^{-1}}log \; 9 \]

    \[ = \; \frac{1}{-1} \cdot ^{9}log \; 9 \]

    \[ = \; -1 \cdot 1 = -1 \]

Jawaban: B

Sekian 5 contoh soal (tingkat lanjut) dan pembahasannnya. Jika ada bagaian yang belum jelas atau mungkin (secara tidak sengaja) terdapat perhitungan atau langkah yang kurang tepat, bisa beri komentar di bawah. Semoga bermanfaat! Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net.