7 Tips Menyelesaikan Soal Limit Fungsi di Suatu Titik

By | February 7, 2018

Tips menyelesaikan soal limit fungsi di suatu titik memuat ulasan cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi di suatu titik. Terdapat beberapa bentuk limit fungsi pada berbagai persoalan. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari cara menyeesaikan berbagai bentuk soal tentang limit.

Limit Fungsi

Ada beberapa bentuk limit jika diselesaikan dengan suatu metode akan menghasilkan nilai \frac{0}{0}. Sebagian besar, banyak yang menganggap bahwa ini adalah hasil akhir nilainya. Padahal, pada beberapa kasus, bentuk \frac{0}{0} bukan merupakan nilai limit. Diperlukan metode yang tepat untuk menentukan nilai limit fungsi di suatu titik.

Melalui halaman ini, idschool akan mengulas 7 tips menyelesaikan soal limit fungsi di suatu titik. Ketujuh teknik tersebut dapat memberikan hasil nilai limit yang tepat jika digunakan untuk menyelesaikan soal yang tepat.

Sekarang, mari simak ke tujuh tips menyelesaikan soal limit fungsi yang akan dibahas di bawah.

 

4 Tips Dasar Menyelesaikan Soal Limit

Penyajian soal limit fungsi sangat beragam. Seperti yang telah disebutkan di awal, untuk mendapatkan nilai limit yang tepat, sobat idschool perlu menggunakan metode yang tepat. Kemampuan memilih metode yang tepat untuk menyelesaikan soal limit fungsi akan terasah ketika sobat idschool banyak menjumpai berbagai macam soal limit fungsi. Sebelumnya, simak terebih dahulu beberapa metode untuk menyelesaika soal limit fungsi.

Bagian awal, sobat idschool akan mempelajari 4 tips dasar menyelesaikan soal limit fungsi.

  1. Substitusi nilai limit x pada persamaan

    Cara pertama yang perlu dilakukan untuk mengetahui suatu nilai limit fungsi adalah dengan melakukan substitusi nilai limit x pada persamaan. Jika hasil yang diperoleh adalah suatu nilai, (bukan \frac{0}{0}) maka proses mencari nilai limit berhenti sampai di sini. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh cara mencari nilai limit di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 9} \]

    Untuk mendapatkan nilai limit fungsi seperti bentuk di atas, sobat idschool hanya perlu melakukan substitusi nilai x = 4 pada persamaan fungsinya.

        \[ \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{4^{2} - 2 \cdot 4 - 3}{4^{2} - 9} \]

        \[ = \frac{16 - 8 - 3}{16 - 9} \]

        \[ = \frac{5}{7} \]

    Proses mencari nilai limit sudah berakhir di sini.

    Bentuk limit fungsi yang dapat diselesaikan menggunakan substitusi nilai limit x adalah persamaan polinomial, fungsi konstanta, dan bentuk akar nilai positif, dan bentuk pangkat.

    Bentuk limit fungsi yang dapat diselesaikan menggunakan cara substitusi:

        \[ \lim_{x \rightarrow 2} 4x = 8 \]

        \[ \lim_{x \rightarrow 1} x^{2} + 3x + 5 = 9 \]

        \[ \lim_{x \rightarrow -1} \left( x + 2 \right)^{100} = 1^{100} = 1 \]

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 0} = \sqrt{9} = 3 \]

  2.  

  3. Pemfaktoran

    Tips kedua yang dapat digunakan untuk menemukan nilai limit adalah metode pemfaktoran. Cara ini digunakan jika proses pencarian nilai limit dengan metode substitusi menghasilkan nilai \frac{0}{0}. Seperti terlihat pada contoh di bawah.

    mencari nilai limit fungsi metode pemfaktoran

    Hasil limit seperti di atas bukan merupakan nilai limit yang diharapkan. Proses mencari nilai limit belum selesai, untuk mencari nilai limit dengan bentuk ini, sobat idschool dapat menggunakan metode pemfaktoran. Perhatikan cara mencari nilai limit dengan metode pemfaktoran yang akan diberikan di bawah.

    Mencari Nilai Limit Fungsi Metode Pemfaktoran

    Nilai limit di atas merupakan nilai yang diharapkan. Sekarang, perhatikan bentuk limit fungsi yang diberikan di bawah.

    mencari nilai imit fungsi metode pemfaktoran

    Tidak semua bentuk limit fungsi yang diselesaikan menggunakan pemfaktoran akan menghasilkan nilai limitnya. Pada kasus tertentu, ada bentuk limit fungsi yang tidak memiliki nilai limit fungsi. Beberapa contoh nilai limit fungsi yang tidak memiliki nilai dapat disimak berikut.

    Nilai limit fungsi tidak ada

    Sekarang, idschool akan mengulas bentuk limit yang dapat dikerjakan dengan mengalikan.

  4.  

  5. Mengalikan dengan Penyebut yang Sama

    Metode untuk menentukan nilai limit yang ke tiga adalah mengalikan dengan penyebut. Perhatikan bentuk limit yang diberikan pada persamaan di bawah!

    Nilai limit fungsi metode penyebut yang sama

    Penyelesaian bentuk limit di atas menggunakan metode substitusi menghasilkan nilai \frac{0}{0}. Sedangkan metode pemfaktoran juga tidak dapat digunakan karena tidak ada bentuk yang bisa difaktorkan. Sehingga, untuk mendapatkan nilai limit fungsi bentuk ini diperlukan metode lain, yaitu metode mengalikan dengan penyebut yang sama.

    Bentuk limit di atas dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan pembilangnya. Proses menentukan nilai limit dengan metode mengalikan dengan penyebut dapat dilihat pada cara di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{2}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{2}{2} \right) \frac{\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{2} \left( \frac{x + 2}{x + 2} \right) }{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2 - x - 2}{2 \left(x + 2 \right)}}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-x}{2 \left(x + 2 \right)}}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{2 \left(x + 2 \right)} \cdot \frac{1}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-1}{2 \left(x + 2 \right)}\]

        \[ = \frac{-1}{2 \left(0 + 2 \right)} \]

        \[ = - \frac{1}{4} \]

    Nilai limit yang diharapkan untuk bentuk limit seperti pada soal. Selanjutnya, akan diberikan metode lain untuk menemukan nilai limit untuk bentuk limit lainnya, yaitu membuka tanda kurung dan menyederhanakan dengan aljabar. Simak bentuk soalnya pada pembahasan selanjutnya, di bawah.

  6.  

  7. Menyederhanakan Bentuk Aljabar

    Metode atau tips ke empat dalam mencari nilai limit adalah membuka tanda kurung kemudian menyederhanakan bentuknya dan menemukan nilai limitnya. Cara ini dapat digunakan untuk mencari nilai limit dengan bentuk seperti di bawah.

    nilai imit fungsi

    Selalu, dalam proses menemukan nilai limit, sobat idschool perlu cek nilai limit dengan cara substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan penyebut yang sama.

    Hasil substitusi x pada bentuk nilai limit ini tidak menghasilkan nilai limit yang diharapkan, karena menghasilkan nilai \frac{0}{0}. Seperti terlihat pada cara di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left( x + 2 \right)^{2} - 4}{x} = \frac{\left( 0 + 2 \right)^{2} - 4}{0} \]

        \[ = \frac{2^{2} - 4}{0} \]

        \[ = \frac{4 - 4}{0} \]

        \[ = \frac{0}{0} \]

    Bentuk limit yang diberikan di atas tidak dapat difaktorkan secara lebih sederhana. Sedangkan metode mengalikan dengan penyebut yang sama juga tidak dapat dilakukan karena tidak ada penyebut sama yang perlu dilakukan. Sehingga, cara menentukan bentuk limit ini adalah dengan membuka tanda kurung dan menyederhanakan bentuk aljabarnya, kemudian menemukan nilai limitnya. Cara menentukan nilai limit bentuk ini dapat dilihat pada cara di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left( x + 2 \right)^{2} - 4 }{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} + 4x + 4- 4 }{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} + 4x}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \left( x + 4 \right)}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} x + 4 \]

        \[ = 0 + 4 \]

        \[ = 4 \]

    Hasil nilai limit di atas seuai yang diharapkan.

Selain keempat bentuk limit yang telah dibahas di atas, terdapat 3 (tiga) bentuk limit lain. Ketiga bentuk limit tersebut adalah bentuk akar pada pembilang, limit bentuk \frac{sin x}{x}, dan bentuk limit nilai mutlak. Untuk lebih jelasnya, simak penjelasan lebih lengkapnya pada uraian di bawah.

 

3 Tips Lanjutan Menyelesaikan Soal Limit

Selain keempat teknik dasar untuk menyelesaikan soal limit fungsi yang telah dibahas di atas, terdapat 3 teknik lanjutan lagi yang juga dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi. Simak ketiga teknik lanjutan untuk menentukan nilai limit fungsi pada pembahasan di bawah.

  1. Mengalikan Akar sekawan (conjugate)

    Tips menentukan nilai limit ke lima yang akan diulas adalah bentuk limit fungsi yang memiliki akar pada pembilangnya. Contoh bentuk soal yang diselesaikan dengan cara metode ini adalah seperti berikut.

    Seperti biasa, kita akan menyelidiki cara menentukan limit dengan cara substitusi, pemfaktoran, dan pembilang yang sama terlebih dahulu.

    Pertama, akan diselidiki cara menentukan nilai limit menggunakan metode substitusi.

        \[ \lim_{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8} = \frac{\sqrt{8 + 1} - 3}{8 - 8} \]

        \[ = \frac{\sqrt{9} - 3}{8 - 8} \]

        \[ = \frac{3 - 3}{0}\]

        \[ = \frac{0}{0} \]

    Hasil yang diperoleh dengan cara di atas tidak sesuai harapan, sehingga perlu dicari menggunakan metode lain.

    Metode pemfaktoran tidak dapat digunakan karena bentuk soal yang diberikan tidak dapat difaktorkan menjadi lebih sederhana lagi. Sedangkan metode dengan mengalikan pembilang juga tidak dapat dilakukan karena tidak sesuai bentuk yang diharapkan.

    Sehingga, perlu cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limitnya. Cara tersebut adalah dengan merasionalkannya. Untuk lebih jeasnya, perhatikan cara menentukan limit yang akan diberikan pada ulasan di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8} = \lim_{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x + 1} - 3}{x - 8} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 3}{\sqrt{x + 1} + 3} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 8} \frac{ \left( x + 1 \right) - 3\sqrt{x + 1} + 3\sqrt{x + 1} - 9}{\left(x - 8 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 3 \right) } \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 8} \frac{ \left( x  - 8 \right)}{\left(x - 8 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 3 \right)} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 8} \frac{1}{ \left( \sqrt{x + 1} + 3 \right) } \]

        \[ = \frac{1}{ \left( \sqrt{8 + 1} + 3 \right) } \]

        \[ = \frac{1}{ \left( \sqrt{9} + 3 \right) } \]

        \[ = \frac{1}{ \left( 3 + 3 \right) } \]

        \[ = \frac{1}{6} \]

    Kita mendapatkan hasil nilai limit fungsi sesuai harapan.

  2.  

  3. Bentuk limit \frac{sin \; x}{x}

    Bentuk limit lainnya adalah bentuk limit fungsi yang mengandung persamaan \frac{sin \; x}{x} = 1. Sebelum mempelajari lebih jauh tentang bentuk limit fungsi yang memiliki bentuk \frac{sin \; x}{x} = 1, sobat idschool perlu mengetahui sebuah persamaan limit fungsi berikut.

    Limit fungsi trigonometri

    Persamaan di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan bentuk limit yang mengandung bentuk \frac{sin \; x}{x} seperti contoh soa yang diberikan di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 2x}{x} \]

    Cara menyelesakan bentuk soal di atas adalah seperti berikut. Sebelumnya, sobat idschool perlu mengecek contoh menyelidiki nilai limitnya menggunakan metode susbtitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan penyebut yang sama. Namun, pada pembahasan kali ini akan diskip, mengingat postingan tulisan yang sudah cukup panjang.

    Sekarang kita akan langsung menentukan nilai limit fungsi yang diberikan di atas.

        \[ lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 2x}{x} = lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; 2x}{ 2x} \cdot \frac{2}{1} \]

        \[ = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2 \]

    Nilai limit yang diharapkan. Contoh lain akan diberikan seperti di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + sin \; x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} + \frac{sin \; x}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{sin \; x}{x} \right) \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} 1 + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \; x}{x} \]

        \[ = 1 + 1 = 2 \]

    Contoh lain:

        \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 \cdot sin \; 5x}{sin \; 4x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x \cdot sin \; 5x}{sin \; 4x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x \cdot sin \; 5x}{sin \; 4x \cdot 5x} \cdot \frac{5x}{x} \]

        \[ = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x}{sin \; 4x} \cdot \frac{sin \; 5x}{5x} \cdot \frac{5x}{x} \]

        \[ = 1 \cdot 1 \cdot 5 \]

        \[ = 5 \]

    Selanjutnya, akan diulas cara menyelesaikan bentuk limit fungsi ke tujuh, yaitu bentuk limit dengan nilai mutlak.

  4.  

  5. Bentuk Limit Nilai Mutlak

    Tips terakhir yang akan diulas pada halaman ini adalah cara menentukan nilai imit fungsi bentuk nilai mutlak. Sebelumnya pahami dulu cara menentukan nilai mutlak yang akan diberikan di bawah.

    nilsi mutlak

    Berdasarkan persamaan di atas, kesimpulannya adalah nilai mutlak x akan bernilai x jika x \geq 0 dan nilai mutlak x akan bernilai -x jika x < 0. Selanjutnya, kita akan masuk dalam uasan materi mencari nilai limit fungsi nilai mutak. Perhatikan persamaan di bawah.

        \[ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left| x - 2\right|}{x - 2} \]

    Berdasarkan cara mencari nilai mutlak, akan diperoleh persamaan sebagai berikut.

        \[ \left| x - 2 \right| = x - 2, \; x >= 2 \]

        \[ \left| x - 2 \right| = -(x - 2), \;  x < 2 \]

     
    Nilai limit dari kanan:

        \[ \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x - 2}{x - 2} = 1 \]

     
    Nilai limit dari kiri:

        \[ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x - 2)}{x - 2} = - 1 \]

    Nilai limit dari kanan tidak sama dengan nilai limit dari kiri, sehingga kesimpulannya adalah nilai limit tidak ada. Nilai limit hanya diperoleh ketika nilai limit dari kanan sama dengan nilai limit dari kiri.

    Jika disajikan dalam gambar akan terlihat seperti berikut.

    grafik nilai mutlak

    Terlihat bahwa fungsi membentuk garis yang tidak terhubung (diskontinu).

Sekian pembahasan mengenai 7 tips mencari nilai limat di suatu nilai. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Pengertian Limit