Aplikasi Integral: Mencari Volume Benda Putar

By | May 18, 2017

Selain untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva, aplikasi integral juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda yang dibatasi kurva. Volume yang diperoleh dari hasil luas daerah yang diputar dengan cara tertentu akan menghasilkan sebuah volume yang sering disebut dengan volume benda putar. Cara memutar luas daerah tersebut bisa dengan sumbu x sebagai poros, sumbu y sebagai poros, atau sebuah persamaan garis yang sebagai poros.

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa luas daerah yang dibatasi kurva akan membentuk volume jika daerah yang dibatasi kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu – x, sumbu y, atau sebuah persamaan garis lurus. Berikut ini akan diberikan gambar ilustrasi luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan diputar mengelilingi sumbu x, luas daerah yang dibatasi dua buah kurva dan diputar mengelilingi sumbu x, serta luas daerah yang diputar mengelilingi sumbu y.

Volume Benda Putar

Selain harus menguasai kemampuan untuk mengintegralkan suatu fungsi, sobat idschool harus menguasai cara menggambar grafik fungsi, baik grafik fungsi kuadrat atau yang lainnya.

Oke, langsung saja simak ulasan materi mengenai volume benda putar pertama yang akan dibahas, yaitu volume benda putar mengelilingi sumbu x.

 

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x

Kasus volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu x dibagi menjadi dua permasalaha. Permasalahan pertama, volume benda putar yang dibatasi sebuah kurva. Kasus yang kedua adalah volume benda putar yang dibatasi dua buah kurva.

  1. Volume benda putar pada interval a\leq x \leq b yang diputar mengelilingi sumbu x

    volume benda putar diputar mengelilingi sumbu x

        \[V= \pi \int_{a}^{b}\left ( f(x)\right )^{2}dx\]

  2.  

  3. Volume benda putar pada interval a \leq x \leq b yang diputar mengelilingi sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x).

    volume benda putar dibatasi dua kurva diputar mengelilingi sumbu x

        \[V= \pi \int_{a}^{b}\left ( \left ( f(x)\right )^{2} - ( \left ( g(x)\right )^{2} \right )dx\]

Pembahasan berikutnya adalah volume benda putar ang diputar mengelilingi sumbu y. Simak ulasan materinya pada pembahasan di bawah.

 

Volume benda putar yang mengelilingi sumbu y

Seperti halnya volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu x, volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y juga dibedakan menjadi dua jenis kasus. Pertama, volume benda putar yang dibatasi sebuah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y. Kedua, volume benda putar yang dibatasi dua buah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y.

  1. Volume benda putar pada interval c \leq x \leq d yang diputar mengelilingi sumbu y

    volume benda putar mengelilingi sumbu y

        \[V= \pi \int_{c}^{d} \left ( f(y) \right )^{2}dy\]

  2.  

  3. Volume benda putar pada interval c \leq x \leq d yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)

    volume benda putar dibatasi dua kurva dan diputar mengelilingi sumbu y

        \[V= \pi \int_{c}^{d} \left ( \left ( f(y)\right )^{2} - ( \left ( g(y)\right )^{2} \right )dy\]

Berikutnya akan diberikan dua contoh soal volume benda putar. Simak kedua contoh soal di bawah.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 Soal Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatai oleh kurva y = x^{2} dan y = -x^{2} + 6x jika diputar terhadap sumbu x?

A.       729 \pi satuan volume
B.       243 \pi satuan volume
C.       81 \pi satuan volume
D.       27 \pi satuan volume
E.       9 \pi satuan volume
 
Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas, yang perlu kita lakukan adalah membuat sketsa grafik dari kedua persamaan untuk mengetahui batas pengintegralan.

Jika belum paham mengenai langkah-langkah menggambar grafik persamaan kuadrat bisa dipelajari dulu kembali.

Sketsa gambar dari y = x^{2} dan y = -x^{2} + 6x adalah sebagai berikut.

contoh soal volume benda putar

Jadi, volume daerah yang dibatasi kurva y = x^{2} dan y = -x^{2} + 6x adalah

    \[V = \pi \int\limits_0^3 {\left( {y_1 ^2  - y_2 ^2 } \right){\rm{ }}} dx\]

    \[ = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\left( { - x^2  + 6x} \right)^2  - \left( {x^2 } \right)^2 } \right){\rm{ }}}dx\]

    \[ = \pi \int\limits_0^3 {\left( {x^4  - 12x^3  + 36x^2  - x^4 } \right){\rm{ }}} dx\]

    \[ = \pi \int\limits_0^3 {\left( { - 12x^3  + 36x^2 } \right){\rm{ }}} dx\]

    \[ = \pi \left[ {\frac{{ - 12}}{4}x^4  + \frac{{36}}{3}x^3 } \right]_0^3\]

    \[ = \pi \left[ { - 3x^4  + 12x^3 } \right]_0^3 \]

    \[ = \pi \left[ {\left( { - 3\left( 3 \right)^4  + 12\left( 3 \right)^3 } \right) - \left( { - 3\left( 0 \right)^4  + 12\left( 0 \right)^3 } \right)} \right] \]

    \[ = \pi \left[ {\left( { - 3\left( {81} \right) + 12\left( {27} \right)} \right) - 0} \right]\]

    \[ = \pi \left( { - 243 + 324} \right)\]

    \[ = 81\pi {\text{ satuan volume}}\]

Jawaban: C

 
Contoh 2 Soal Volume Benda Putar

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = - x^{2} + 4 dan y = - 2x + 4 diputar 360^{o} mengelilingi sumbu y adalah …. (Soal UN Matematika SMA Tahun 2007)

A.       8 \pi satuan volume
B.       \frac{13}{2} \pi satuan volume
C.       4 \pi satuan volume
D.       \frac{8}{3} \pi satuan volume
E.       \frac{5}{4} \pi satuan volume
 
Pembahasan:

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mengetahui batas integral yang dapat diketahui melalui daerah yang dibatasi oleh kedua kurva y = −x^{2} + 4 dan y = − 2x + 4.

contoh soal volume benda putar

Kurva diputar mengelilingi sumbu y, sehingga dibutuhkan persamaan fungsi f(y) dan g(y).

    \[y = -x^{2} + 4 \rightarrow x = \sqrt{4-y} \rightarrow f(y) = \sqrt{4-y}\]

    \[y = -2x + 4 \rightarrow x = \frac{4-y}{2} \rightarrow f(y) = \frac{4-y}{2}\]

Jadi, Volume benda putar yang dibatasi kurva y = -x^{2} + 4 dan y = -2x + 4 dan diputar 360^{o} mengelilingi sumbu y adalah

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \left ( \left ( \sqrt{4-y}\right )^{2} -  \left ( \frac{4-y}{2} \right )^{2} \right )dy\]

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \left ( 4 - y  - \frac{16-8y+y^{2}}{4} \right )dy\]

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \left ( \frac{4(4 - y)}{4} - \frac{16-8y+y^{2}}{4} \right )dy\]

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \left ( \frac{16 - 4y}{4} - \frac{16-8y+y^{2}}{4} \right )dy\]

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \frac{16 - 4y - 16 + 8y - y^{2}}{4} dy\]

    \[V= \pi \int_{0}^{4} \frac{4y - y^{2}}{4} dy\]

    \[V= \frac{1}{4}\pi \left[ \frac{4}{1+1}y^{1+1} - \frac{1}{2+1}y^{2+1} \right]_0^4 \]

    \[V= \frac{1}{4}\pi \left[ \frac{4}{2}y^{1+1} - \frac{1}{3}y^{3} \right]_0^4 \]

    \[V= \frac{1}{4}\pi \left[ 2y^{2} - \frac{1}{3}y^{3} \right]_0^4\]

    \[V= \frac{1}{4}\pi \left[ 2(4)^{2} - \frac{1}{3}(4)^{3} - \left( 2(0)^{2} -  \frac{1}{3}(0)^{3}\right) \right] \]

    \[V= \frac{1}{4}\pi \left[ \left( 2(16) - \frac{1}{3}(64) \right) - \left( 2(0)^{2} -  \frac{1}{3}(0)^{3}\right) \right] \]

    \[V= \pi \left[ \left( 2(4) - \frac{1}{3}(16) \right) - 0 \right] \]

    \[V= \pi \left[ \left( 8 - \frac{16}{3} \right) - 0 \right] \]

    \[V= \pi \left[ \left( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \right) - 0 \right] \]

    \[V= \frac{8}{3} \pi \]

Jawaban: D

Sekian pembahasan aplikasi integral tentang mencari volume benda putar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Dasar Integral