Aturan Cosinus: Materi dan Contoh Soal + Pembahasan

By | March 8, 2018

Aturan cosinus adalah sebuah aturan dalam pembahasan trigonometri yang menghubungkan fungsi cosinus dengan sisi-sisi pada segitiga. Biasanya, materi ini akan diberikan saat sekolah menengah atas dan tergabung dalam bab trigonometri. Rumus aturan cosinus terdiri dari tiga buah persamaan. Sesuai dengan jumlah sudut dan jumlah sisi pada segitiga.

Selain aturan cosinus, terdapat pula aturan sinus yang dapat digunakan untuk menentukan sisi segitiga atau sudut segitiga yang belum diketahui. Kapan menggunakan aturan sinus? Kapan menggunakan aturan cosinus? Hal ini tergantung apa yang diketahui di soal.

Persamaan pada aturan cosinus menyatakan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan besar salah satu sudut segitiga saat tiga sisi segitiha diketahui. Sedangkan untuk menentukan salah satu sisi segitiga, aturan cosinus dapat digunakan saat diketahui dua sisi dan sudut apitnya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ulasan materi tentang aturan cosinus yang akan diberikan di bawah. Pada bagian akhir juga akan diberikan contoh soal aturan cosinus yang telah dilengkapi dengan pembahasan. Jadi, jangan lewatkan, simak sampai akhir! Agar sobat idschool dapat lebih paham tentang materi aturan cosinus.

Masuk dalam ulasan pertama yang akan diberikan, yaitu pengantar materi aturan cosinus.

 

Pengantar Materi Aturan Cosinus

Sudah disinggung sedikit sebelumnya, bahwa aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang salah satu sisi segitiga atau besar salah satu sudut segitiga. Persamaan yang terdapat pada aturan cosinus juga diperoleh dengan memanfaatkan fungsi trigonometri dan teorema pythagoras.

Sebagai pengantar, simak cara mendapatkan tiga persamaan pada aturan cosinus di bawah.

Perhatikan gambar di bawah!

fungsi cosinus dan aturan cosinus

Pada \Delta DBC:

    \[ Sin \; B = \frac{h}{a} \rightarrow h = a \cdot Sin \; B \]

    \[ Cos \; B = \frac{DB}{a} \rightarrow DB = a \cdot Cos \; B \]

    \[ AD = AB - DB = c - a \cdot Cos \; B \]

Pada \Delta ADC dapat diperoleh persamaan di bawah (berdasar teorema pythagoras):

    \[ AC^{2} = AD^{2} + CD^{2} \]

    \[ b^{2} = \left( c - a \cdot Cos \; B \right)^{2} + \left( a \cdot Sin \; B\right)^{2} \]

    \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot Cos^{2}B + a^{2} \cdot Sin^{2} B \]

    \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \left( Cos^{2}B + Sin^{2} B\right) \]

    \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot 1 \]

    \[ b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \]

    \[ b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ac \cdot Cos \; B \]

Persamaan akhir yang di atas merupakan salah satu aturan cosinus. Dengan mengikuti langkah serupa seperti yang telah dikerjakan di atas, akan diperoleh tiga buah persamaan aturan cosuinus. Tiga buah persamaan tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

aturan cosinus

Berdasarkan tiga persamaan aturan cosinus di atas, dapat diperoleh rumus fungsi cosinus yang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut segitiga jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga. Persamaan fungsi cosinus tersebut dapat dilihat pada persamaan di bawah.

aturan cosinus

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Pada suatu segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c memenuhi a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc. Maka besar sudut A adalah ….
A.       90^{o}
B.       60^{o}
C.       45^{o}
D.       30^{o}
E.       15^{o}

Pembahasan:

Diketahui:

    \[ a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc\]

Sehingga,

    \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} - bc \]

Salah satu rumus cosinus adalah:

    \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos \; A \]

Berdasarkan dua persamaan di atas, akan diperoleh nilai cos A.

contoh soal aturan cosinus dan pembahasan

p>Sekian pembahasan aturan cosinus yang meliputi materi aturan cosinus dan contoh soal aturan cosinus yang telah dilengkapi dengan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.