Cara Mencari Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik

By | November 3, 2017

Sebuah persamaan lingkaran dapat diperoleh dari tiga titik koordinat pada bidang kartesius. Cara untuk menentukan persamaan lingkaran jika diketahui tiga titik koordinat adalah dengan memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu x^{2} + y^{2} + ax + by + c. Kemudian substitusi ketiga titik koordinat pada pemisalan bentuk umum persamaan lingkarannya, sehingga akan diperoleh tiga persamaan dengan tiga variabel. Selanjutnya cari nilai a, b, dan c dengan metode eliminasi dan substitusi yang telah dipelajari waktu SMP. Setelah semua variabel dicari kemudian substitusikan nilainya ke bentuk umum persamaan lingkaran. Demikian langkah untuk menentukan persamaan lingkaran melalui 3 titik. Secara lebih detail dapat dilihat pada daftar langkah di bawah.

Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik
 
Baca Juga: Persamaan Garis Singgung Lingkaran

    Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran jika diketahui tiga titik koordinatnya:

  1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0.
  2. Substitusi ketiga titik koordinat pada pemisalan bentuk umum persamaan lingkaran pada langkah pertama.
  3. Akan diperoleh tiga persamaan dengan tiga variabel.
  4. Tentukan nilai ketiga variabel (a, b, dan c).
  5. Substitusikan nilia variabel yang sudah diperoleh ke bentuk umum persamaan lingkaran.
  6. Diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran.

 
Baca Juga: Kedudukan Antara Dua Lingkaran
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal persamaan lingkaran melalui 3 titik

Diketahui sebuah lingkaran melalui tiga titik koordinat (3,-1), (5, 3), dan (6, 2). Tentukan persamaan lingkaran, pusat lingkaran, dan jari-jari lingkaran!

Pembahasan
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

    \[ x^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0 \]

Substitusi ketiga titik: (3,-1), (5, 3), dan (6, 2) ke bentuk umum persamaan lingkaran di atas sehingga akan diperoleh tiga persamaan dengan tiga variabel.

  1. Persamaan (1)
    Substitusi titik (3, -1) pada bentuk umum persamaan lingkaran.

        \[ x² + y² + ax + by + c = 0 \]

        \[ 3² + (-1)² + a \cdot 3 + b \cdot -1 + c = 0 \]

        \[ 9 + 1 + 3a - b + c = 0 \]

        \[ 3a - b + c = - 10 \]

  2. Persamaan (2)
    Substitusi titik (5, 3) pada bentuk umum persamaan lingkaran.

        \[ x² + y² + ax + by + c = 0 \]

        \[ 5² + 3² + a \cdot 5 + b \cdot 3 + c = 0 \]

        \[ 25 + 9 + 5a + 3b + c = 0 \]

        \[ 5a + 3b + c = - 34 \]

  3. Persamaan (3)
    Substitusi titik (6, 2) pada bentuk umum persamaan lingkaran.

        \[ x² + y² + ax + by + c = 0 \]

        \[ 6² + 2² + 6a + 2b + c = 0 \]

        \[ 36 + 4 + 6a + 2b + c = 0 \]

        \[ 6a + 2b + c = -40 \]

  4. Persamaan (4)
    Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2)
     
    Persamaan Lingkaran Melalui 3 Titik
  5. Persamaan (5)
    Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3).
     
    Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik

  6. Cari nilai b dengan cara eliminasi a dari persamaan (4) dan (5).
     
  7. Substitusi nilai b = -2 pada persamaan (5) untuk mendapatkan nilai a.

        \[ a - b = -6 \]

        \[ a - (-2) = -6 \]

        \[ a + 2 = -6 \]

        \[ a = -6 - 2 \]

        \[ a = -8\]

  8. Substitusi nilai a = -8 dan b = -2 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai c.

        \[ 3a - b + c = -10 \]

        \[ 3(-8) - (-2) + c = - 10 \]

        \[ -24 + 2 + c = - 10 \]

        \[ -22 + c = -10 \]

        \[ c = -10 + 22 = 12 \]

  9. Sehingga, diperoleh persamaan lingkaran.

        \[ x² + y² + ax + by + c = 0 \]

        \[ x² + y² - 8x - 2y + 12 = 0 \]

     
    Pusat lingkaran

        \[ A = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot -8 = -4 \]

        \[ B = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2} \cdot -2 = -1 \]

    Pusat lingkaran (-A, -B) \; \rightarrow (4, 1).

     
    Jari-jari lingkaran

        \[r = \sqrt{\left( \frac{1}{2} a\right)^{2} + \left( \frac{1}{2} b\right)^{2} - c }\]

        \[r = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \cdot -8 \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \cdot -2 \right)^{2} - 12 } \]

        \[r = \sqrt{\left( -4 \right)^{2} + \left( -1 \right)^{2} - 12 }\]

        \[r = \sqrt{16 + 1 - 12 } \]

        \[r = \sqrt{5}  \]