Cara Menentukan Invers, Determinan Matriks, dan Sifat-sifatnya

By | November 14, 2017

Salah satu bagian paling penting dari pembahasan materi matriks adalah cara menghitung determinan matriks, invers matriks, dan sifat-sifatnya. Sobat idschool perlu meneguasai dasar cara menentukan determinan matriks, invers matriks, dan sifat-sifatnya karena akan sangat dibutuhkan untuk membantu perhitungan matriks dengan tipe soal tingkat lanjut. Namun sebelumnya, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai bagaimana cara mengoperasikan dua matriks atau lebih.

Untuk pertama, sobat idschool akan dikenalkan melalui bagian yang paling sederhana yaitu mencari determinan matriks dengan ordo 2 x 2. Untuk tingkat SMA, ulasan mengenai determinan matriks biasanya melibatkan matriks dengan ordo 2 x 2. Namun, materi determinan matriks dengan ukuran lebih besar juga sering diulas. Hanya saja tidak sesering determinan matriks ordo 2 x 2. Cara menentukan determinan matriks untuk orde lebih besar dari 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan determinan matriks ordo 2 x 2.

Menentukan nilai invers matriks ordo 2 x 2 cukup mudah dilakukan. Sedangkan cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih susah dan rumit. Melalui halaman ini, sobat idschool bisa menyimak cara menentukan invers matriks dari kedua ordo tersbut.

Uraian materi yang dibahas pada halaman ini memuat apa itu determinan matriks dan bagaimana cara menentukan determinan matriks? Apa itu invers matriks dan bagaimana cara menghitung nilai invers matriks? Sifat apa saja yang dimiliki determinan matriks dan invers matriks?

Secara lebih lengkap dapat disimak pada pembahasan di bawah.

 

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau \left| A \right|. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.

 
Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.

    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Nilai determinan A disimbolkan dengan \left| A \right|, cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

    \[ det(A) \; = \; \left| A \right| = ad - bc \]

 
Contoh Soal:
Tentukan nilai determinan matriks

    \[ A \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]

Pembahasan:

    \[ \left| A \right| = ad - bc = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 15 - 2 = 13\]

 
Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 adalah sebagai berikut.

    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan Sarrus. Untuk lebih jelasnya, lihat penjelasan pada gambar di bawah.

 

determinan matriks

 
Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]

Maka,

    \[ \left|  \textrm{A} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]

    \[ \left|  \textrm{A} \right| \; = 1\cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]

    \[ \left|  \textrm{A} \right| \; = 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 \]

    \[ \left|  \textrm{A} \right| \; = -6  \]

 

Selanjutnya, pembahasan kita akan berlanjut ke invers matriks.

 

Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A^{-1} maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks). Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar A dan -A akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).

    \[ A \cdot A^{-1} = I\]

    \[ A + (-A) = 0 \]

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.

invers matriks
 
Selanjutnya, mari simak pembahasan mengenai cara menentukan invers matriks pada pembahasan di bawah.

 
Invers dari Matriks 2 x 2
Invers dari suatu matirks A

    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

dinyatakan dalam rumus di bawah.

Invers Matriks

 
Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Diketahui:

    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]

Tentukan invers dari matrik A!
Pembahasan:

    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]

    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{12 - 2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]

    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]

    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \\  -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]

    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\  -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]

 
Baca Juga: Pengertian dan Jenis-jenis Matriks

 
Invers Matriks Ordo 3 x 3

Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2.

Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Selanjunyta simak pembahasan di bawah.

  1. Matriks Minor
    Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.
     
    Invers Matriks Ordo 3 x 3

     
    Matriks minor M_{ij} adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks-matrik baru berordo 2 seperti persamaan di bawah.
     
    Matriks Minor Mij

  2.  

  3. Adjoin
    Adjoin dari matriks A yang berordo dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.
     

        \[ Adj(A) \; = \; \; \begin{bmatrix} M_{11} & M_{21} & M_{31} \\ M_{12} & M_{22} & M_{23} \\ M_{31} & M_{32} & M_{33} \end{bmatrix} \]

    Atau dalam bentuk umum dinyatakan sebagai persamaan berikut.
    Matriks Adjoin

    Keterangan: A_{ij} adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.

Matriks minor, kofaktor, dan Adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh dari persamaan di bawah.

Invers Matriks

    \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A) \]

Invers matriks ordo 3 x 3 juga dapat dicari menggunakan persamaan di atas.

 
Contoh Soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3:
Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.

    \[ \textrm{B} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]

 
Pembahasan:
Menghitung nilai determinan B:

    \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]

    \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]

    \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 = - 6 \]

 
Menentukan nilai kofaktor:
Matriks Kofaktor

 
Menentukan Adjoin B:
Matriks Adjoin

 
Selanjutnya adalah langkah terakhir yaitu menentukan invers dari matriks B:
 

    \[ B^{-1} \; = \; \frac{1}{det(B)} \cdot Adj(B) \]

maka,
 
Invers Matriks

 
Sekian materi mengenai cara menentukan determinan matriks, invers matriks, sifat-sifat determinan matriks, dan sifat-sifat invers matriks. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
 
Baca Juga: Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks