Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

By | May 17, 2018

Cara menentukan persamaan kuadrat baru – Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua). Bentuk grafik persamaan kuadrat berupa kurva lengkung yang memiliki satu titik puncak. Permasalahan yang sering diulas pada persamaan kuadrat adalah cara menentukan persamaan kuadrat baru. Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat maka sobat idschool dapat menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang berbeda. Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari cara menentukan persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat awal yang diketahui.

persamaan kuadrat

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat. Cara tersebut dapat meliputi metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus abc. Dalam pembahasan cara menentukan persamaan kuadrat baru, sobat idschool tidak perlu menentukan nilai akar-akar dari persamaan kuadrat. Cara menentukan persamaan kuadrat yang akan dibahas di sini adalah menentukan persamaan kuadrat yang memanfaatkan rumus jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Sebelumnya, akan dijelaskan cara menentukan persamaan kuadrat dengan memanfaatkan rumus penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Pada bagian akhir akan diberikan contoh soal menentukan persamaan kuadrat baru. Simak ulasan berikutnya pada pembahasan di bawah.

 

Rumus untuk Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Pembahasan di sini adalah seputar rumus hasil jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat dengan memanfaatkan koefisen dari persamaan kuadrat. Rumus ini diperoleh dengan memanfaatkan rumus abc, sebagai salah satu cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Hasil akhirnya akan diperoleh rumus umum untuk mengetahui jumlah dan perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat.

Rumus abc

Berikut ini adalah rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut.

Cara menentukan persamaan kuadrat baru

Dengan x_{1} dan x_{2} merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat baru. Secara runut, langkah-langkah mencari persamaan kuadrat baru diberikan melalui daftar berikut.

Langkah-langkah menentukan persamaan kuadrat baru:

  1. Menentukan jumlah dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat awal.
  2. Menentukan jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat baru yang diketahui.
  3. Membentuk persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus yang telah diberikan di atas.

        \[ x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + x_{1} \cdot x_{2} = 0 \]

Berikutnya akan diberikan contoh soal cara menentukan persamaan kuadrat baru berserta dengan pembahasannya. Simak pada ulasan di bawah.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Pada ulasan di atas, telah diberikan rumus-rumus yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat baru. Berikutnya akan diberikan contoh soal dan pembahasan cara menentukan persamaan kuadrat baru untuk menambah pemahaman sobat idschool Simak contoh soal beserta pembahasan menentukan persamaan kuadrat baru di bawah.

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan kuadrat x^{2} + 2x + 3 = 0 adalah \alpha dan \beta. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \left( \alpha - 2 \right) dan \left( \beta - 2 \right) adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 6x + 5 = 0  \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 6x + 7 = 0  \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 6x + 11 = 0  \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 2x + 3 = 0  \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 2x + 11 = 0  \]

Pembahasan:

Berdasarkan persamaan kuadrat x^{2} + 2x + 3 = 0, dapat diketahui bahwa:

Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

    \[ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \]

    \[ \alpha + \beta = \frac{-2}{1} \]

    \[ \alpha + \beta = \frac{-2}{1} = -2 \]

Rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat:

    \[ \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} \]

    \[ \alpha \cdot \beta = \frac{3}{1} = 3 \]

Untuk persamaan kuadrat baru, maka:

Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat:

    \[ \alpha - 2 + \beta - 2 = \alpha + \beta - 4 \]

    \[ = -2 - 4 = - 6  \]

Rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat:

    \[ \left( \alpha - 2 \right) \left( \beta - 2 \right) = \alpha \cdot \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 4 \]

    \[ = \alpha \cdot \beta - 2 \left( \alpha + \beta \right) + 4 \]

    \[ = 3 - 2 \cdot (-2) + 4 \]

    \[ = 3 + 4 + 4 \]

    \[ = 11 \]

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah \left( \alpha - 2 \right) dan \left( \beta - 2 \right) adalah

    \[ x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) x + \left( x_{1} \cdot x_{2} \right) = 0 \]

    \[ x^{2} - ( - 6)x + 11 = 0 \]

    \[ x^{2} + 6x + 11 = 0 \]

Selain cara runut yang telah diberikan seperti di atas, terdapat cara cepat menentukan persamaan kuadrat untuk bentuk soal seperti di atas. Simak caranya pada langkah-langkah di bawah.

RUMUS CEPAT

Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pengurangan nilai yang sama, yaitu -2. Untuk menentukan persamaan kuadrat baru dalam kasus soal seperti ini dapat dilakukan dengan substitusi invers nilai persamaan kuadrat baru ke persamaan kuadrat awal. Perhatikan cara-caranya seperti berikut ini.

Invers dari \left( x - 2 \right) adalah \left( x + 2 \right), substitusi nilai inversnya ke persamaan kuadrat awal seperti berikut ini.

    \[ \left( x + 2\right)^{2} + 2\left( x + 2\right) + 3 = 0 \]

    \[ x^{2} + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0 \]

    \[ x^{2} + 6x + 11 = 0 \]

Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya, bukan? Tapi cara cepat menentukan persamaan kuadrat ini hanya dapat digunakan saat akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pengurangan atau penjumlahan yang sama.

Jawaban: C

 

Contoh Soal 2

Persamaan kuadrat x^{2} - 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar \alpha dab \beta. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya \alpha^{2} dan \beta^{2} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2}- 21x + 4 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 21x + 4 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 21x - 4 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2}- 21x - 4 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; -x^{2}- 21x + 4 = 0 \]

Pembahasan:

Berdasarkan persamaan kuadrat x^{2} - 5x + 2 = 0 dapat diperoleh:

    \[ \alpha + \beta = 5 \]

    \[ \alpha \cdot \beta = 2 \]

Sehingga,

Penjumlahan akar-akar baru:

    \[ \alpha^{2} + \beta^{2} = \left( \alpha + \beta \right)^{2} - 2 \alpha \beta \]

    \[ = 5^{2} - 2 \cdot 2 \]

    \[ = 25 - 4 = 21 \]

Perkalian akar-akar baru:

    \[ \alpha^{2} \cdot \beta^{2} = \left( \alpha \beta \right)^{2} \]

    \[ = 2^{2} \]

    \[ = 4 \]

Sehingga, persamaan kuadrat barunya adalah

    \[ x^{2} - 21x + 4 = 0 \]

Jawaban: A

 

Contoh Soal 3

Jika \alpha dan \beta merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x^{2} - x + 3 = 0, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \alpha^{2} - \alpha dan \beta^{2} - \beta adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 6x + 9 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 6x + 9 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 6x - 9 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 6x - 9 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; -x^{2} + 6x + 9 = 0 \]

Pembahasan:

    \[ \alpha + \beta = 1 \]

    \[ \alpha \cdot \beta = 3 \]

Penjumlahan akar-akar baru:

    \[ \alpha^{2} - \alpha + \beta^{2} - \beta = \alpha^{2} + \beta^{2} -  \alpha - \beta  \]

    \[ = \left( \alpha + \beta \right)^{2} - 2 \cdot \alpha \beta - \left( \alpha + \beta \right)  \]

    \[ = 1^{2} - 2 \cdot 3 - 1  \]

    \[ = 1 - 6 - 1 =  -6 \]

Perkalian akar-akar baru:

    \[ \left( \alpha^{2} - \alpha \right) \times \left( \beta^{2} - \beta \right) = \left( \alpha \beta \right)^{2} - \alpha \beta \left( \alpha + \beta \right) + \alpha \beta \]

    \[ = 3^{2} - 3(1) + 3 \]

    \[ = 9 \]

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah

    \[ x^{2} + 6x + 9 = 0 \]

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan persamaan kuadrat baru serta contoh soal cara menentukan persamaan kuadrat baru dengan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Aplikasi Integral (Mencari Luas yang dibatasi Kurva)