Cara Mengerjakan Limit Tak Hingga

By | February 11, 2018

Pembahasan mengenai limit seringkali memuat mencari nilai limit ketika x menuju tak hingga (\infty) atau x menuju (\infty). Bilangan tak hingga merupakan bilangan yang sangat besar, tanpa harus sobat idschool menyebutkan bilangan berapa itu, yang jelas bilangannya sangat besar. Sedangkan kebalikannya, bilangan negatif tak hingga adalah bilangan yang sangat kecil. Pembahasan limit tak hingga adalah mepresiksi nilai yang akan terjadi pada fungsi tersebut ketika x menuju tak hingga atau negatif tak hingga.

Nilai limit tak hingga

Berdaasarkan ilustrasi yang diberikan di atas, secara sepintas sobat idschool dapat menyimpulkan bahwa ketika nilai x menuju tak hingga, fungsi limitnya, dalam hal ini nilai x, juga akan menuju tak hingga. Ide seperti ini yang akan kita gunakan untuk berbagai tipe soal bentuk limit tak hingga.

Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari tentang limit tak hingga dan cara menentukan nilai fungsi limitnya. Bentuknya dibagi menjadi 4 tipe, yaitu bentuk polinomial, bentuk pecahan, bentuk trigonometri, dan bentuk eksponensial.

Selanjutnya simak ulasan pertama tentang limit tak hingga pada bentuk fungsi polinomial.

Baca Juga: Pengertian Limit

 

Limit Tak Hingga pada Bentuk Polinomial

Ulasan pertama mengenai nilai limit tak hingga bentuk polinomial yang akan dibahas adalah bentuk polinomial dengan variabel x dengan pangkat tertinggi 1, jika digambarkan dalam diagram kartesius berbentuk garis lurus. Perhatikan gambar di bawah.

Nilai Limit Tak Hingga

Nilai limit bentuk polinomial tergantung pada pangkat tertinggi dari polinomial tersebut. Limit fungsi yang diberikan di atas, variabel x nya berpengaruh langsung pada fungsi f(x) nya. Ketika nilai x nya menuju nilai yang sangat besar, dalam hal ini tak hingga, maka nilai 3x juga akan meuju tak hingga.

Sedangkan untuk x menuju negatif tak hingga, nilai fungsi limitnya juga akan munuju nilai yang sangat kecil, yaitu negatif tak hingga.

limit tak hingga

Ulasan selanjutnya adalah nilai limit untuk bentuk polinomial dengan pangkay tertinggi lebih besar dari satu. Seperti diberikan contoh polinomial di bawah.

cara mengerjakan limiti tak hingga bentuk polinomial

Dalam menentukan nilai limit dari polinomial seperti bentuk di atas, sobat idschool hanya perlu memperhatikan nilai x dengan pangkat tertingginya. Dalam kasus ini, pangkat tertinggi x adalah 2. Sehingga, perhatian kita fokuskan pada x^{2}.

Ketika nilai x menuju tak hingga, nilai x^{2} juga akan menuju tak hingga yang lebih besar. Suku 2x + 5 tidak akan berpengaruh banyak terhadap nilai limitnya. Sehingga, nilai limit fungsi x^{2} + 2x + 5 dengan x menuju tak hingga adalah tak hingga.

    \[ \lim_{x \rightarrow \infty }x^{2} + 2x + 5 = \infty \]

Dengan ide yang sama, sobat idschool pasti dapat menentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x menuju negatif tak hingga.

    \[ \lim_{x \rightarrow - \infty }x^{2} + 2x + 5 = \infty \]

Cara yang sama juga dapat digunakan untuk menentukan nilai limit tak hingga pada bentuk polinomial dengan pangkat lebih tinggi, misalnya 3, 4, 5, dan seterusnya. Lalu, bagaimana untuk fungsi konstan? Bagaimana cara mendapatkan nilai limit untuk fungsi konstan?

Nilai limit tak hingga untuk fungsi konstan tidak terpengaruh oleh nilai x, sehingga nilainya tetap.

limit tak hingga fungsi konstan

Pembahsan kita selanjutnya adalah nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan.

Limit Tak Hingga pada Bentuk Pecahan

Cara baku untuk mendapatkan nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan dapat diperoleh dengan menyederhanakan bentuk pecahan. Meskipun demikian, ada cara yang lebih singkat untuk mendapatkan nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan. Sebelumnya, perhatikan terlbih dahulu cara mendapatkan nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan yang akan diberikan di bawah.

cara mengerjakan limit tak hingga bentuk pecahan

Demikianlah, cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit tak hingga bentuk pecahan. Ide yang sama dapat digunakan untuk menemukan nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan lainnya. Intinya adalah, bagi semua suku dengan variabel yang memiliki pangkat tertinggi pada penyebut.

Sesuai yang telah disampaikan sebelumnya, ada cara yang lebih cepat untuk menentukan nilai limit tak hingga pada bentuk pecahan. Terdapat tiga rumus cepat yang dapat digunakan. Penggunaannya berdasarkan pangkat tertinggi dari variabel antara pembilang dan penyebut. Ringkasnya adalah sebagai berikut.

limit tak hingga bentuk pecahan

Pengunan rumus singkat di atas dapat dilihat melauli cara di bawah.

  1. Ketika m < n

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^{2}+x+1}{2x^{3} - 5}  = ... \]

    Perhatikan bahwa pangkat tertinggi pada pembilang adalah 2 dan pangkat tertinggi pada penyebut adalah 3. Karena 2 < 3, maka untuk menyelesaikan soal limit di atas, sobat idschool dapat menggunakan penyelesaian untuk kasus pertama, yaitu 0.

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x^{2}+x+1}{2x^{3} - 5}  = 0 \]

  2.  

  3. Ketika m = n

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^{2} - 5x}{8x^{2} + 3x} =  ... \]

    Untuk soal di atas, nilai limit tak hingganya dapat dicari menggunakan kasus ke dua. Di mana nilai limitnya diperoleh dari perbandingan koefisien pembilang dan penyebut.

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^{2} - 5x}{8x^{2} + 3x} =  \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

  4.  

  5. Ketika m > n

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2} - 2x}{x + 5}  = ... \]

    Pada soal di atas, nilai variabel pembilang memiliki pangkat tertinggi lebih besar dari varibel dengan pangkat tertinggi pada penyebut. Sehingga, untuk menyelesaikan soal di atas dapat digunakan rumus cepat untuk kasus ketiga, yaitu tak hingga.

        \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{2} - 2x}{x + 5}  = \infty \]

Bagaimana cara menentukan nilai limit tak hingga bentuk pecahan, mudah bukan? Selanjutnya idschool akan menjelaskan cara menentukan nilai limit tak hingga pada bentuk trigonometri.

 

Limit Tak Hingga pada Bentuk Trigonometri

Seperti pada limit menuju suatu titik pada bentuk trigonometri, limit tak hingga pada bentuk trigonometri memiliki sebuah persamaan dasar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal pada limit tak hingga bentuk trigonometri. Persamaan tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

limit tak hingga bentuk trigonometri

Dengan menggunakan persamaan di atas, sobat idschool dapat menentukan nilai limit tak hingga pada berbagai tipe soal limit bentuk trigonometri.

Contoh pertama cara menentukan nilai limit tak hingga bentuk trigonometri:

limit tak hingga bentuk trigonometri

Perhatikan contoh lain yang akan diberikan di bawah.

limit tak hingga bentuk trigonometri

Bentuk soal di bawah, sedikit berbeda dengan kedua contoh soal limit tak hingga yang telah diberikan di atas.

limit tak hingga bentuk trigonometri

Pembahasan cara menentukan nilai limit tak hingga yang terakhir dibahas melalui halaman ini adalah limit tak hingga pada bentuk eksponensial.

 

Limit Tak Hingga pada Bentuk Eksonensial

Ada dua tipe bentuk soal limit tak hingga bentuk eksponensial yang akan di bahas pada halaman ini. Ide untuk mendapatkan nilai limit tak hingga bentuk eksponensial sama dengan soal limit tak hingga bentuk lain.

Ketika 1 dibagi bilangan yang sangan besar akan menghasilkan nilai limit 0 (nol).

limit tak hingga bentuk eksponensial

Bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan yang sangat besar akan menghasilkan bilangan yang sangat besar atau tak hingga (\infty).

limit tak hingga bentuk eksponensial

Sekian pembahasan tentang menyelesaikan limit tak hingga. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: 7 Tips Menyelesaikan Soal Limit Fungsi di Suatu Titik