Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks

By | November 14, 2017

Sebelumnya, idschool sudah membahas mengenai pengertian matriks dan sifat-sifatnya, tranpsose matriks, serta cara menghitung determinan, menentukan invers, dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, idschool akan menyampaikan salah satu penerapan atau aplikasi materi matriks dalam membantu perhitungan. Penerapan matriks yang akan dibahas pada halaman ini adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) dengan matriks. Pertama, sobat idschool akan ditunjukkan penerapannya pada sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Selanjutnya, sobat idschool juga akan ditunjukkan cara menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) pada persamaan dengan tiga variabel. Sobat idschool juga bisa menggunakannya untuk sistem persamaan linear dengan variabel yang lebih banyak. Hanya saja, pada pembahasan di halam ini hanya sampai pada sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Oke, mari langsung simak penjabaran materinya lebih lanjut.

 
 

Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks

Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear (SPL) dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Selanjutnya, langsung ke langkah-langlah penyelesaian SPLDV yang dapat dilihat di bawah.

Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.

    \[ ax + by = c \]

    \[ px + qy = r \]

Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.

    \[ \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]

Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{aq - bp} \begin{bmatrix} q & -b \\ -q & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]

Atau juga bisa dengan cara seperti berikut.

    \[ x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} c & b \\ r & q \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }\]

    \[ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} a & c \\ p & r \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b  \\ p & q \end{matrix} \right| }\]

 
Contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang diselesaikan menggunakan matriks dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:

    \[2x + y = 5 \]

    \[ x + y = 7 \]

 
Selanjutnya, akan diselesaikan SPLDV di atas menggunakan matriks. Bentuk matriks dari persamaan SPLDV pada soal adalah sebagai berikut.

    \[ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

    \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

    \[  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

    \[  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{2 - 1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

    \[  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \]

    \[  \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \end{bmatrix} \]

Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah x = -2 dan y = 9.

 
 

Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan matriks.

Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, dan z) seperti terlihat pada persamaan di bawah.

    \[ ax + by + cz = d \]

    \[ px + qy + rz = s \]

    \[ kx + ly + mz = n \]

 
Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks

 
Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah.

  1. Determinan utama
    Determinan  Utama

  2. Determinan variabel x
    Determinan Variabel x
  3. Determinan variabel y
    Determinan Variabel y
  4. Determinan variabel z
    Determinan Variabel z
  5. Selanjutnya, untuk mengetahui niali masing-masing variabel x, y, dan z dapat mengunakan rumus berikut.
     
    Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks
     

    Sekian materi mengenai cara menyelesaikan sistem persamana linear (SPL) dengan matriks. Semoga Bermanfaat!
     
    Baca Juga: Transpose Matriks dan Sifat-sifat Transpose Matriks