Contoh Soal dan Pembahasan Program Linear Matematika SMA

By | November 28, 2017

Program linear adalah materi yang membahas tentang optimasi. Masalah pada program linear biasanya terkait memaksimalkan untung atau meminimalkan biaya produksi. Tujuannya sangat jelas, untuk mendapatkan perhitungan yang tepat terkait biaya yang dianggarkan. Sebelum masuk ke contoh soal program linear dan pembahasan program linear matematika SMA, mari kita bahas dasar materi mengenai program linear matematika sma dan pembahasannya terlebih dahulu. Materi program linear yang akan dijabarkan pada pembahasan di halaman ini meliputi sistem pertidaksamaan linear, model matematika, dan metode untuk menyelesaikan masalah terkait program linear. Selanjutnya, simak uraian materinya pada pembahasan di bawah.

 
 

Sistem Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan sebuah pertidaksamaan dengan kombinasi operasi antar variabel yang ditandai dengan tanda <, \; \leq, \; >, atau \geq. Sedangkan gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear disebut sistem pertidaksamaan linear. Sistem pertidaksamaan linear pada program linear yang diajarkan di tingkat SMA biasanya melibatkan dua variabel dengan dua atau lebih pertidaksamaan linear. Bagian ini menjadi dasar untuk dapat menyelesaikan masalah terkait program linear. Salah satu langkah penting dalam sistem pertidaksamaan linear pada pembahasan tentang program linear adalah dapat secara tepat menggambarkan garis dan daerah yang memenuhi di bidang kartesius. Pada bagian ini, sobat akan mempelajari bagaimana cara menentukan dua langkah tersebut. Sebelumnya, ingat kembali sistem pertidaksamaan linear yang akan diberikan pada contoh di bawah.

Contoh sistem pertidaksamaan linear

    \[ x + y  \leq 5 \]

    \[ 2x + y  < 7 \]

    \[ x + 3y \geq 11 \]

 
Cara menggambar persamaan garis lurus dan menentukan daerah yang memenuhi:
Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

  1. Gambarlah garis ax + by = c pada bidang kartesius, cara lebih lengkapnya dapat dilihat di sini.
     
    Garis Lurus
  2.  

  3. Ambil sembarang titik (x_{1}, y_{1}) di luar garis ax + by = c kemudian hitung nilai ax_{1} + by_{1} dan bandingkan dengan nilai c.
    • Jika ax_{1} + by_{1} \leq c maka daerah yang memuat x_{1}, y_{1} adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by \leq c.
       
      Daerah layak kurang dari
    •  

    • Jika ax_{1} + by_{1} \geq c maka daerah yang memuat x_{1}, y_{1} adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by \geq c.
       
      Daerah Layak Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Contoh cara menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah.
Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut.

    \[ x \geq 0 \]

    \[ y \geq 0 \]

    \[ x + y \leq 7 \]

    \[ x + 3y \leq 15 \]

Cari tahu daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear di atas.

  1. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan x + y \leq 7.

    Penyelesaian Daerah Layak Kurang Dari

  2.  

  3. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan x + 3y \leq 15.
    Penyelesaian daerah layak kurang dari
  4.  

  5. Daerah yang memenuhi gabungan dari empat sistem pertidaksamaan linear: x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 7, dan x + 3y \leq 15.
    Materi Program Linear Matematika SMA

 
 

Model Matematika

Model soal yang diberikan pada program linear biasanya berupa soal cerita. Agar dapat menyelesaikan soal cerita yang diberikan, sobat idschool perlu merubahnya ke dalam model matematika. Model matematika merupakan suatu cara merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan, pertidaksamaan, dan fungsi. Untuk penjelasan lebih detailnya, perhatikan penyelesaian kasus berikut.

Contoh soal model matematika
Tentukan model matematika dari soal di bawah.
Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00, berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal?
 
Pembahasan
Misalkan:
    x = adonan roti basah
    y = adonan roti kering
 
Perhatikan tabel di bawah.
 
Contoh soal dan pembahasan program linear Matematika SMA
 
Sehingga diperoleh model matematika dari soal di atas adalah seperti berikut.

    \[ x \geq 0 \]

    \[ y \geq 0 \]

    \[ 2x + y \leq 6 \]

    \[ x + y \leq 5 \]

Pembahasan yang diberikan hanya berhenti sampai di sini, belum sampai menentukan kombinasi jenis roti yang dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal. Solusi selanjutnya akan dibahas pada penjabaran materi di bawah.
 
 

Cara Menyelesaikan Masalah Program Linear

Cara menyelesaikan masalah program linear dapat dikatakan sebagai proses untuk menentukan nilai optimum dari suatu pertidaksamaan. Nilai tersebut dapat berupa nilai maksimum atau minimum, tergantung dari soal yang diberikan. Bentuk umum fungsi objektif dari suatu model matematika adalah f(x,y) = ax + by. Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum tersebut, yaitu metode uji titik pojok dan garis selidik. Penjabaran secara lebih jelasnya dapat dilihat pada pembahasan di bawah.

 
Metode Uji Titik Pojok
Sesuai namanya, metode uji titik pojok dilakukan dengan menghitung nilai fungsi tujuan dari titik pojok yang diperoleh. Titik pojok yang dimaksud di sini adalah titik-titik koordinat yang membatasi daerah layak dari suatu sistem pertidaksamaan linear. Langkah – langkah yang dilakukan untuk menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut.

  1. Menentukan garis-garis sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari persoalan yang diberikan.
  2. Menentukan titik-titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang memenuhi fungsi kendala.
  3. Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.
  4. Mendapatkan nilai maksimum atau minimum sesuai permasalahan.

 
Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode uji titik pojok, kita akan menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.

    \[ x \geq 0 \]

    \[ y \geq 0 \]

    \[ 2x + y \leq 6 \]

    \[ x + y \leq 5 \]

Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut.
Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
 
Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas.
Materi Program Linear Matematika SMA
 
Menentukan titik koordinat yang mennjadi titik pojok pembatas daerah layak dari permasalahan sistem pertidaksamaan.
Titik Koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar di atas, yaitu O(0,0), A(0, 5), dan C(3, 0). Sedangkan koordinat titik B dapat diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi.
Mencari koordinat titik B.

 
Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y.

    \[ x + y = 5 \]

    \[ 1 + y = 5 \]

    \[ y = 5 - 1 = 4 \]

Koordinat titik B adalah (1, 4)
Perhitungan nilai optimum:
Fungsi Objektif metode uji titik pojok
 
Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.

 
 
Metode Garis Selidik

Selain metode uji titik pojok, cara lain yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai optimum adalah metode garis selidik. Intinya, cara yang dapat dilakukan untuk mencari nilai optimum dengan garis selidik yang diperoleh dari persamaan fungsi objektif atau fungsi tujuannya. Jika fungsi tujuan adalah memaksimalkan maka nilai optimum diperoleh dari titik yang paling akhir menyentuh garis selidik yang digeser ke kanan mendekati daerah layak. Sedangkan nilai optimum dengan fungsi tujuan meminimumkan diperoleh dari titik koordinat yang pertama kali menyentuh geseran garis selidik yang digeser ke kiri mendekati daerah layak. Begitu juga dengan sebaliknya. Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif f(x,y) = ax + by dengan metode garis selidik.

  1. Menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan.
  2. Menentukan persamaan garis selidik f(x,y) = ax + by = k, dengan k adalah bilangan real.
  3. Geser garis selidik yang telah dibuat pada langkah nomor 2 atau buatlah garis-garis lain yang sejajar dengan garis selidik yang telah dibuat ke arah daerah layak.
      Jika arah geser garis selidik ke kanan:

    • Jika titik (x_{1}, y_{1}) adalah titik pada daerah penyelesaian yang pertama dilalui oleh garis selidik maka nilai minimum diwakiliki oleh titik tersebut.
    • Jika titik (x_{2}, y_{2}) adalah titik pada daerah penyelesaian yang terakhir dilalui oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakiliki oleh titik tersebut.

     

      Jika arah geser garis selidik ke kiri:

    • Jika titik (x_{1}, y_{1}) adalah titik pada daerah penyelesaian yang pertama dilalui oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakiliki oleh titik tersebut.
    • Jika titik (x_{2}, y_{2}) adalah titik pada daerah penyelesaian yang terakhir dilalui oleh garis selidik maka nilai minimum diwakiliki oleh titik tersebut.

Untuk memperjelas pemahaman materi tentang mencari nilai optimum dengan metode garis selidik, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan permasalah yang telah dibahas sebagian pada bagian model matematika. Berdasarkan pembahasan sebelumnya diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.

    \[ x \geq 0 \]

    \[ y \geq 0 \]

    \[ 2x + y \leq 6 \]

    \[ x + y \leq 5 \]

Lihat kembali soal yang diberikan, fungsi tujuan dapat diperoleh dari kalimat berikut.
Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00.
Jadi, fungsi tujuannya adalah memaksimalkan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.
 
Persamaan garis selidik (ambil nilai k = 600.000):

    \[ f(x, y) = k \]

    \[ 75.000x + 60.000y = 600.000 \]

    \[ 5x + 4y = 40 \]

Menggambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan di atas dan garis selidiknya.
Program Linear Metode Grafik
 
Nilai maksimum diwakili oleh titik B (titik yang pertama kali menyentuh garis selidik yang digeser ke arah kiri).
Mencari koordinat titik B.

Metode eliminasi

 
Substitusi nilai x = 1 pada persamaan x + y = 5 untuk mendapatkan nilai y.

    \[ x + y = 5 \]

    \[ 1 + y = 5 \]

    \[ y = 5 - 1 = 4 \]

Koordinat titik B adalah (1, 4)
Substitusi koordinat titik B(1,4) pada persamaan f(x, y) = 75.000x + 60.000y.

    \[f(x, y) = 75.000x + 60.000y \]

    \[f(x, y) = 75.000(1) + 60.000(4) \]

    \[f(x, y) = 75.000 + 240.000 \]

    \[f(x, y) = 315.000 \]

Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Bagian terakhir yaitu mengenai contoh soal dan pembahasan program linear matematika sma yang akan diberikan dalam contoh-contoh soal berikut.
 
Contoh 1
Luas daerah parkir 360 m^{2}. Luas rata-rata sebuah mobil 6 \; m^{2} dan luas rata-rata bus 24 \; m^{2}. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …. (Soal Ujian Nasional)
A.     Rp40.000,00
B.     Rp50.000,00
C.     Rp60.000,00
D.     Rp75.000,00
E.     Rp90.000,00

Pembahasan:
Misalkan:
    x = banyak mobil
    x = banyak bus
 
Perhatikan tabel di bawah!
 
Pemodelan Matematika pada Program Linear

 
Diperoleh dua persamaan:

    \[ x + y \leq 30 \]

    \[ 6x + 24y \leq 360 \rightarrow x + 4y \leq 60 \]

 
Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan:
Contoh Soal Ujian Nasional Program Linear
 
Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut.
Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi.
 
Metode eliminasi
 
Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x.

    \[ x + y = 30 \]

    \[ x + 10 = 30 \]

    \[ x = 30 - 10 = 20 \]

Koordinat titik B adalah (20, 10)
 
Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh:
Fungsi Objektif Pembahasan Soal Ujian Nasional Program Linear SMA
Jawaban: E

 
Contoh 2
Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….
A.     Rp2.000.000,00
B.     Rp2.300.000,00
C.     Rp2.200.000,00
D.     Rp2.100.000,00
E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan:
Pemisalan:
    x = banyak payung A
    y = banyak payung B
 
Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:
Fungsi tujuan: meminimumkan

    \[ f(x,y) = 20.000x + 30.000y \]

Fungsi kendala:

    \[ x \geq 40 \]

    \[ y \geq 50 \]

    \[ x + y \leq 100 \]

 
Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:
 
Daerah Penyelesaian Metode Garis Selidik

 
Nilai minimim akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50). Sehingga, biaya produksi minimum adalah

    \[ f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50) \]

    \[ f(40,50) = 800.000 + 1.500.000 \]

    \[ f(40,50) = 2.300.000 \]

Jawaban: B

Oke, sekian dulu pembahasan mengenai contoh soal program linear dan pembahasannya. Semoga bermanfaat, terimakasih telah berkunjung di idschool.net
Sampai jumpa di pembahasan materi lainnya.
Baca Juga: Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks