Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial

By | December 12, 2017

Contoh soal jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial merupakan variasi soal yang terdapat pada pembahasann polinomial atau yang dikenal juga sebagai suku banyak. Pada pembahasan persamaan kuadrat, sobat idschool pasti tahu bahwa banyaknya akar-akar rasional persamaan kuadrat adalah 2 (dua). Untuk persamaan dengan pangkat tertinggi sama dengan tiga, atau biasa disebut polinomial berderajat 3 (tiga), memiliki banyak akar-akar rasional sebanyak 3 (tiga). Begitu juga untuk polinomial berderajat 4, 5, dan seterusnya. Banyaknya akar – akar rasional suku banyak dapat diketahui melalui pangkat tertinggi dari suku banyak terkait.

Akar-akar Persamaan Suku Banyak
 

Cara menentukan akar-akar persamaan polinomial berderajat tinggi tidak akan di bahas pada pembahasan kali ini. Cara menentukan akar-akar persamaan poliniomial dapat dilihat pada halaman cara menentukan akar-akar polinomial berderajat tinggi dengan cara horner. Pada halaman ini, fokus pembahasan kita adalah menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial.

Jika diberikan soal untuk menentukan hasil perkalian semua akar-akar polinomial suatu akar banyak, mencari semua akar-akar rasional dari suatu suku banyak kemudian mencari hasil kali semua akar-akarnya bukan merupakan cara yang baik. Membutuhkan waktu yang cukup lama. Untuk itu, ayo simak rumus mencari jumlah dan hasil akar-akar polinomial yang akan di bahas berikut.

 
 

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial Berderajat 2, 3, dan 4

Pada pembahasan di bawah, akan dijelaskan mengenai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial berderajat 2, 3, dan 4. Simak pembahasan lanjutannya di bawah.

 
Polinomial Berderajat 2
Bentuk umum polinomial berderajat 2 adalah
Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 2
 
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar polinomial berderajat 2:

    \[ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \]

 
Polinomial Berderajat 3
Selanjutnya adalah polinomial berderajat 3 yang memiliki bentuk umum seperti persamaan di bawah.
 
Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 3

 
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar polinomial berderajat 3:

    \[ x_{1} + x_{2} + x_{3} = -\frac{b}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} = \frac{c}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = - \frac{d}{a} \]

 
Polinomial Berderajat 4
Bentuk umum polinomial berderajat 4 adalah
 Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 4
 
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar polinomial berderajat 4:

    \[ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = -\frac{b}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{4} + x_{2} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{4} + x_{3} \cdot x_{4} = \frac{c}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} + x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{4} +x_{2} \cdot  x_{3} \cdot x_{4} = - \frac{d}{a} \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} = \frac{e}{a} \]

 
 

Bentuk Umum Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial

Selain bentuk polinomial berderajat 2, 3, dan 4 seperti yang telah dibahas di atas, terdapat rumus umum untuk jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial berderajat n.
 
Bentuk umum suku banyak berderajat n dapat dilihat pada gambar di bawah.
 
Bentuk Umum Polinomial Derajat n
 
Rumus Jumlah dan hasil kali akar-akar rasional berderajat n.
Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial
 
Pembahasan selanjutnya adalah Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial. Lanjutkan simak penjelasannya di bawah.
 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika salah satu akar dari persamaan 6x^{3} + mx^{2} - 3x + 2 = 0 adalah 2, maka jumlah ketiga akar persamaan tersebut adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{11}{6} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{12}{6} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{13}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{14}{6} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{15}{6} \]

 
Pembahasan:
Subtitusi nilai x = 2 untuk mendapatkan nilai m:

    \[ 6 \cdot (2)^{3} + m \cdot (2)^{2} - 3 \cdot 2 + 2 = 0 \]

    \[ 6 \cdot 8 + m \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 0 \]

    \[ 48 + 4m - 6 + 2 = 0 \]

    \[ 4m = - 48 + 6 - 2 \]

    \[ 4m = - 44 \]

    \[ m = - \frac{44}{4} = -11 \]

Sehingga, persamaan suku banyak menjadi

    \[ 6x^{3} - 11 x^{2} - 3x + 2 = 0 \]

 
Berdasarkan polinomial di atas dapat diperoleh data a_{3} = 6, a_{2} = -11, a_{1} = -3, dan a_{0} = 2.
 
Gunakan rumus jumlah akar – akar rasional untuk menentukan ketiga jumlah akarnya.

    \[ x_{1} + x_{2} + x_{3} = -\frac{a_{2}}{a_{3}} \]

    \[ x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{11}{6} \]

 
Jawaban: A
 
Sekian pembahasan mengenai Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial. Jika ada bagian yang tidak paham bisa tinggalkan komentar di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat.
 
Baca Juga: Contoh Soal Kesamaan Suku Banyak