Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi

By | December 15, 2017

Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Misalkan suatu fungsi f(x) memiliki invers f^{-1}(x) dan g(x) memiliki invers g^{-1}(x). Komposisi f(x) dan g(x) juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Sebelumnya, perhatikan penertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers.
 

Fungsi Invers

 
Pada gambar sebelah kiri ditunjukkan sebuah fungsi f(x) yang memiliki fungsi invers f^{-1}(x). Gambar di sebelah kanan adalah komposisi dua buah fungsi dan inversnya.

 
Sebelum membahas mengenai sivat invers pasa komposisi fungsi. Kita akan mempelajari terlabih dahulu proses mencari invers dari suatu fungsi.
 
Penjelasan akan disajikan dalam bentuk soal dan pembahasan, jadi simak soal dan pembahasan tentang invers fungsi di bawah dengan baik.
 
Tentukan invers dari fungsi f(x) di bawah.

    \[ f(x) = \frac{4x - 3}{x + 2}\]

Pembahasan:
Misalkan f(x) = y, maka

    \[ y = \frac{4x - 3}{x + 2}\]

    \[ y \left( x + 2 \right) = 4x - 3 \]

    \[ xy + 2y = 4x - 3 \]

    \[ xy - 4x = - 3 - 2y \]

    \[ x \left( y - 4 \right) = - 3 - 2y \]

    \[ x  = \frac{- 3 - 2y}{ y - 4 } \]

    \[ x  = \frac{-\left(3 + 2y \right)}{ - \left(4 -  y \right)} \]

    \[ x  = \frac{3 + 2y}{4 - y} \]

 
Berdasarkan persamaan akhir di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers dari f(x) adalah

    \[ f^{-1}(x)  = \frac{3 + 2x}{4 - x} \]

 
Bagaimana, mudah bukan?
 
Cara menentukan invers suatu fungsi memang cuku panjang. Sebenarnya, ada rumus praktis untuk menentukan suatu fungsi invers. Meskipun demikian, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai konsep pencarian invers suatu fungsi di atas terlebih dahulu. Hal ini akan bermanfaat untuk sobat idschool nantinya, juga akan bermanfaat ketika sobat idschool lupa rumus cepatnya. Cara cepat mencari sebuah fungsi invers dapat diperoleh dengan cara berikut.
 

Rumus cepat mencari invers fungsi

 
Kita akan menggunakan cara cepat mencari invers fungsi untuk menyelesaikan persoalan yang sama pada soal dan pembahasan invers fungsi di atas.
 

    \[ f(x) = \frac{4x - 3}{x + 2} \]

    \[ f^{-1}(x) = \frac{-2x - 3}{x - 4} \]

    \[ f^{-1}(x) = \frac{- \left( 2x + 3 \right)}{- \left(4 - x \right)} \]

    \[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{4 - x} = \frac{3 + 2x}{4 - x} \]

 
Bagaimana? Hasilnya sama bukan dengan cara sebelumnya? Selanjutnya kita akan mempelajari sifat invers suatu fungsi.
 
Baca Juga: Relasi dan Fungsi: Pengertian, Perbedaan, dan Contoh Soal
 
 

Sifat Invers pada Komposisi Fungsi

Pembahasan sifat invers pada komposisi fungsi mempelajari hubungan kesamaan suatu fungsi invers dengan kesamaan lainnya. Sifat invers pada komposisi fungsi dapat membuat sobat idschool lebih tepat dalam menentukan langkah yang tepat untuk menyelesaikan variasi soal yang diberikan terkait komposisi fungsi.
 
Sifat Fungsi Invers pada komposisi fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.
 

Sifat Fungsi Invers

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi
 
Jika f(x) = x + 2 dan g(x) = \frac{3 - x}{2x + 1} maka \left(f \circ g \right)^{-1}(x) adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{x - 6}{5 - 2x} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{x - 6}{2x - 5} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{x + 6}{2x - 5} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{x - 6}{2x + 5} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{2x - 5}{x + 6} \]

Pembahasan:

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = f \left( g(x) \right) \]

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = f \left( \frac{3 - x}{2x + 1} \right) \]

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x}{2x + 1} + 2 \]

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x + 2(2x + 1)}{2x + 1} \]

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3 - x + 4x + 2)}{2x + 1} \]

    \[ \left(f \circ g \right)(x) = \frac{3x + 5)}{2x + 1} \]

 
Dengan cara cepat mencari fungsi invers, kita dapat secara mudah menentukan \left(f \circ g \right)^{-1}(x).

    \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{-x + 5}{2x - 3} \]

    \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{- \left(x - 5 \right)}{ - \left(3 - 2x \right) } \]

    \[ \left(f \circ g \right)^{-1}(x) = \frac{x - 5}{ 3 - 2x} \]

Jawaban: A

 
Bagaimana? Sobat idschool sudah paham mengenai materi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi? Jika ada bagian yang kurang paham, bisa tinggalkan komentar di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!

 
Baca Juga: Sifat-sifat dan Contoh Soal Komposisi Fungsi