Persamaan Garis Singgung Hiperbola

By | April 11, 2018

Garis singgung hiperbola merupakan kondisi dimana sebuah garis lurus memotong hiperbola pada satu titik. Ada beberapa kondisi yang sering dibahas dalam pembahasan garis singgung hiperbola. Kondisi pertama adalah mencari garis singgung hiperbola jika diketahui nilai gradien m. Kondisi yang kedua adalah menentukan garis singgung hiperbola jika diketahui satu titik yang terdapat pada hiperbola. Ketiga, menentukan garis singgung hiperbola jika diketahui satu titik di luar hiperbola.

Berikut ini adalah tiga kondisi garis singgung yang sering menjadi pembahasan.

garis singgung hiperbola

Cara menentukan garis singgung pada hiperbola tergantung pada persamaan hiperbola yang diberikan dan apa yang diketahui pada soal. Cara menentukan gradien garis singgung pada hiperbola dengan gradien m, tentu akan berbeda dengan cara menentukan gradien garis singgung pada hiperbola yang melalui suatu titik. Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari berbagai cara menentukan garis singgung hiperbola.

Pembahasan pertama yang akan dibahas adalah garis singgung hiperbola dengan gradien m. Simak ulasan lebih jelasnya pada uraian materi di bawah.

 

Garis Singgung Hiperbola dengan Gradien m

Kemiringan dari sebuah garis lurus dinyatakan dalam sebuah nilai yang disebut gradien. Cara menentukan garis singgung hiperbola dengan gradien m tergantung pada bentuk hiperbola. Apakah hiperbola tersebut merupakan hiperbola vertikal atau horizontal. Selain itu, garis singgung pada hiperbola juga dipengaruhi letak pusat dan puncak hiperbola.

Perhatikan bentuk persamaan umum garis singgung hiperbola dengan gradien m untuk beberapa persamaan hiperbola yang diberikan pada tabel di bawah.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola dengan Gradien m

Contoh mencari persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien m dapat dilihat pada bagian contoh soal dan pembahasan, terletak di bagian akhir. Sebelumnya, akan diulas terlebih dahulu garis singgung pada hiperbola jika diketahuo satu titik pada hiperbola. Simak ulasan materinya pada pembahasan di bawah.

 

Garis Singgung Hiperbola yang Melalui Suatu Titik

Pada pembahasan sebelumnya dibahas cara menentukan garis singgung hiperbola dengan gradien m. Berikutnya, akan dibahas persamaan garis singgung pada hiperbola jika diketahui satu titik yang terletak pada hiperbola. Secara umum, persamaan garis singgung hiperbola yang melalui satu titik pada hiperbola diberikan pada tabel di bawah.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola yang Melalui Suatu Titik

Demikian, telah diberikan rumus umum persamaan garis singgung hiperbola. Baik untuk kasus yang diketahui nilai gradiennya atau diketahui titik pada hiperbola. Selanjutnya, simak contoh soal garis singgung hiperbola yang dilengkapi dengan pembahasannya.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: contoh soal garis singgung hiperbola

Persamaan garis singgung hiperbola 4x^{2} - y^{2} - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2) adalah ….

A.       4x – y – 28 = 0
B.       9x – 2y + 21 = 0
C.       4x – y + 21 = 0
D.       x – y – 34 = 0
E.       9x – 2y – 34 = 0

Pembahasan:

Persamaan hiperbola 4x^{2} - y^{2} - 40x - 4y + 48 = 0 dapat dibentuk menjadi persamaan seperti berikut.

    \[ 4x^{2} - y^{2} - 40x - 4y + 48 = 0 \]

    \[ 4x^{2} - 40x + 100 - y^{2} - 4y - 4= - 48 + 100 - 4 \]

    \[ 4 \left( x^{2} - 10x + 25 \right) - \left( y^{2} + 4y + 4 \right) = - 48 + 100 - 4 \]

    \[ 4 \left( x^{2} - 10x + 25 \right) - \left( y^{2} + 4y + 4 \right) = 48 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x^{2} - 10x + 25 \right)}{48} - \frac{ \left( y^{2} + 4y + 4 \right)}{48} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x^{2} - 10x + 25 \right)}{12} - \frac{ \left( y^{2} + 4y + 4 \right)}{48} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right)^{2}}{12} - \frac{ \left( y + 2 \right)^{2}}{48} = 1 \]

Berdasarkan persamaan hiperbola di atas, maka persamaan garis singgung hiperbola yang digunakan adalah

    \[ \frac{ \left( x - p \right) \left( x_{1} - p \right) }{a^{2}} + \frac{ \left( y - q \right) \left( y_{1} - q \right)}{b^{2}} = 1 \]

Garis singgung hiperbola melalui titik (9, 2), sehingga:

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \left( 9 - 5 \right) }{12} + \frac{ \left( y + 2 \right) \left( 2 + 2 \right)}{48} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \cdot 4 }{12} + \frac{ \left( y + 2 \right) \cdot 4 }{48} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) }{3} + \frac{ \left( y + 2 \right) }{12} = 1 \]

    \[ 4 \times \frac{ \left( x - 5 \right) }{12} + \frac{ \left( y + 2 \right) }{12} = 1 \]

    \[ 4 \times \left( x - 5 \right) + \left( y + 2 \right) = 12 \]

    \[ 4x - 20 +  y + 2  = 12 \]

    \[ 4x + y = 12 + 20 - 2 \]

    \[ 4x + y = 30 \]

Jawaban:

 

Contoh 2: contoh soal garis singgung hiperbola

Persamaan garis singgung hiperbola 4x^{2}- 9 y^{2} + 16x + 18y - 29 = 0 yang sejajar dengan garis y = 2x – 1 adalah …

    \[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2x + 5 + 6 \sqrt{2} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; y = 2x + 5 + 2 \sqrt{6} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2x - 5 + 2 \sqrt{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = 2x - 5 - 2 \sqrt{6} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; y = 2x + 5 + 2 \sqrt{6} \]

Pembahasan:

Persamaan garis singgung hiperbola 4x^{2}- 9 y^{2} + 16x + 18y - 23 = 0 dapat diubah menjadi persamaan seperti berikut.

    \[ 4x^{2}- 9 y^{2} + 16x + 18y - 23 = 0 \]

    \[ 4x^{2} + 16x + 16 - 3 y^{2}  + 6y - 3  = 23 + 16 - 3 \]

    \[ 4 \left( x^{2} + 4x + 4 \right) - 3 \left( y^{2}  - 2y + 1 \right)  = 36 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x + 2 \right)^{2} }{36} - \frac{ 3 \left( y - 1 \right)^{2}}{36}  = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x + 2 \right)^{2} }{9} - \frac{ \left( y - 1 \right)^{2}}{12}  = 1 \]

Garis singgung hiperbola sejajar dengan garis y = 2x – 1 maka gradiennya m = 2.

Persamaan garis singgung hiperbola yang sesuai dengan kondisi pada soal adalah

    \[ y - q = m \left( x - p \right) \pm \sqrt{ a^{2} m^{2} - b^{2} } \]

    \[ y - 1 = 2 \left( x - (-2) \right) \pm \sqrt{ 9 \cdot 4 - 12 } \]

    \[ y - 1 = 2 \left( x + 2) \right) \pm \sqrt{ 36 - 12 } \]

    \[ y - 1 = 2x + 4 \pm \sqrt{ 24 } \]

    \[ y - 1 = 2x + 4 \pm \sqrt{ 4 \times 6 } \]

    \[ y - 1 = 2x + 4 \pm 2 \sqrt{ 6 } \]

    \[ y = 2x + 4 + 1 \pm 2 \sqrt{ 6 } \]

    \[ y = 2x + 5 \pm 2 \sqrt{ 6 } \]

Diperoleh persamaan garis singgung hiperbola yaitu y = 2x + 5 + 2 \sqrt{6} atau y = 2x + 5 - 2 \sqrt{6}.

Jawaban: B

Selesai

Sekian pembahasan mengenai persamaan garis singgung hiperbola, meliputi garis singgung hiperbola dengan gradien m dan garis singgung hiperbola yang melalui suatu titik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.