Persamaan Garis Singgung Parabola

By | April 11, 2018

Garis singgung parabola, memiliki arti bahwa garis dan parabola sama-sama melalui satu titik koordinat yang sama. Selain itu, garis singgung parabola dapat juga diartikan dengan garis lurus yang memotong elips pada satu titik. Ada tiga kondisi yang biasanya akan dibahas. Meliputi persamaan garis singgung parabola dengan gradien m, melalui suatu titik, atau melalui titik di luar parabola. Kurang lebih, gambaran ketiga kondisi tersebut dapat dilihat seperti gambar di bawah.

Garis Singgung Parabola

Sebuah garis lurus yang digambarkan pada bidang kartesius memiliki kemiringan yang dinyatakan dengan nilai gradien. Garis lurus dengan gradien m yang menyinggung parabola memiliki bentuk persamaan yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung parabola. Selain itu, ada juga bentuk persamaan garis lurus yang menyinggung parabola jika diketahui satu titik potong pada parabola. Bentuk lainnya berupa garis singgung parabola yang melalui satu titik di luar parabola.

Melelui halaman ini akan diulas persamaan garis singgung parabola. Baik garis singgug pada parabola jika diketahui nilai gradiennya. Atau garis singgung pada parbola jika diketahui suatu titik pada parabola. Pada bagian akhir pembahasan juga diberikan contoh soal menentukan garis singgung parabola untuk memudahkan pemahaman sobat idschool.

Pembahasan yang pertama akan dibahas adalah garis singgung parabola dengan gradien m. Simak uraian materi yang akan diberikan pada materi di bawah.

 

Garis Singgung Parabola dengan Gradien m

Gradien dari sebuah persamaan menunjukkan kemiringan garis tersebut. Garis lurus yang memotong parabola di satu titik dapat ditentukan melalui bentuk umum garis singgung parabola. Bentuk persamaan garis singgung yang akan dibahas di sini adalah garis singgung parabola jika diketahui gradien garis lurus yang menyinggung parabola.

Bentuk umum garis singgung parabola untuk beberapa bentuk persamaan prabola dapat dilihat pada tabel di bawah.

Garis Singgung Parabola dengan gradien m

Pembahasan berikutnya adalah garis singgung parabola yang melalui satu titik. Simak ulasannya pada uraian materi di bawah.

 

Garis Singgung Parabola yang Melalui Suatu Titik

Bentuk persamaan garis singgung ke dua yang akan diulas adalah garis singgung parabola untuk satu titik potong yang diketahui. Satu titik potong parabola yang diketahui tersebut berada pada parabola. Keduanya, garis lurus dan parabola, sama-sama melalui titik tersebut. Cara menentukan garis singgung pada parobla tergantung apa yang diketahui dan bagaiamana bentuk persamaan parabola yang diketahui.

Beberapa jenis bentuk persamaan garis singgung parabola yang melalui satu titik dapat dilihat melalui tabel di bawah.

Garis Singgung Parabola yang melalui satu titik

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: contoh soal garis singgung parabola

Garis singgung parabola \left( y - 2 \right)^{2} = -12 \left( x + 1 \right) sejajar dengan garis y - 3x + 1 = 0. Persamaan garis singgung parabola adalah ….

A.       y = 3x + 4
B.       y = 3x + 3
C.       y = 3x + 2
D.       y = 3x + 1
E.       y = 3x

Pembahasan:

    \[ \left( y - 2 \right)^{2} = -12 \left( x + 1 \right) \]

Berdasarkan persamaan parabola di atas, dapat diperoleh informasi bahwa:

    \[ b = 2 \]

    \[ -4p = -12 \rightarrow p = \frac{-12}{-4} = 3 \]

    \[ a = -1 \]

Sebelum mencari persamaan garis singgung, akan ditentukan gradien garisnya terlebih dahulu. Karena gradien garis singgung parabola sejajar dengan garis y - 3x + 1 = 0, maka nilai gradiennya adalah m = 3. Jika belum jelas cara mencari gradien suatu garis lurus bisa dibaca di sini.

A.       -18
B.       -10
C.       -8
D.       10
E.       18

Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m adalah

    \[ y = b + m \left( x - a \right) - \frac{p}{m} \]

    \[ y = 2 + 3 \left( x - (-1) \right) - \frac{3}{3} \]

    \[ y = 2 + 3x  + 3 - 1 \]

    \[ y = 3x + 4 \]

Jawaban: A

 

Contoh 2: contoh soal garis singgung parabola

Garis singgung parabola y = x^{2} - 2x + 8 di titik yang berabsis 2 menyinggung kurva y = ax^{3} + bx - 4 di titik yang berabsis 1. Nilai a - b adalah ….

Pembahasan:

Mencari garis singgung parabola y = x^{2} - 2x + 8 di titik yang berabsis 2:

    \[ y' = x^{2} - 2x + 8 \]

    \[ y' = 2x - 2 \]

    \[ y'(2) = 2 \cdot 2 - 2 \]

    \[ y'(2) = 4 - 2 = 2 \]

Untuk x = 2, maka:

    \[ y = x^{2} - 2x + 8 \]

    \[ y(2) = 2^{2} - 2 \cdot 2 + 8 \]

    \[ y(2) = 4 - 4 + 8 \]

    \[ y(2) = 8 \]

Sehingga, titik singgungnya berada di (2, 8). Persamaan garis singgungnya adalah:

    \[ y - y_{1} = m \left( x - x_{1} \right) \]

    \[ y - 8 = 2 \left( x - 2 \right) \]

    \[ y - 8 = 2x - 4 \]

    \[ y = 2x - 4 + 8 \]

    \[ y = 2x + 4 \]

Persamaan garis di atas akan menyinggung kurva y = ax^{3} + bx - 4 di titik yang berabsis 1, sehingga:

    \[ m = y'(1) \]

    \[ 2 = 3a(1)^{2} + b \]

    \[ 2 = 3a + b \]

Dihasilkan persamaan pertama, yaitu 3a + b = 2. Nantinya, akan digunakan proses substitusi untuk mencari nilai a dan b bersama dengan persamaan ke dua.

Pada x = 1, nilai y yang dilalu garis y = 2x + 4 adalah:

    \[ y = 2x + 4 \]

    \[ y = 2 \cdot 1 + 4 \]

    \[ y = 2 + 4 = 6 \]

Diperoleh titik yang sama-sama dilalui garis y = 2x + 4 dan kurva y = ax^{3} + bx - 4. Sehingga,

    \[ y = ax^{3} + bx - 4 \]

    \[ 6 = a \cdot 1^{3} + b \cdot 1 - 4 \]

    \[ 10 = a + b \]

Didapat persamaan ke dua, yaitu a + b = 10

    \[ a + b = 10 \rightarrow a = 10 - b \]

Substitusi nilai a = 10 – b pada persamaan pertama untuk mendapatkan nilai b.

    \[ 3 \left( 10 - b \right) + b = 2 \]

    \[ 30 - 3b + b = 2 \]

    \[ - 3b + b = 2 - 30 \]

    \[ - 2b = - 28 \rightarrow b = \frac{-28}{-2} = 14 \]

Selanjutnya, substitusi nilai b = 14 pada persamaan ke dua untuk mendapatkan nilai a.

    \[ a + b = 10 \]

    \[ a + 14 = 10 \]

    \[ a = 10 - 14 = - 4 \]

Sehingga, nilai a – b adalah

    \[ a - b = -4 - 14 = -18 \]

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai persamaan garis singgung parabola, meliputi garis singgung parabola dengan gradien m dan garis singgung parabola yang melalui suatu titik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.