Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola)

By | March 28, 2018

Kerucut merupakan bangun ruang dengan alas berbentuk lingkaran. Jumlah sisi pada kerucut ada dua, yaitu sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung yang menjadi selimut. Jika kerucut diiris dari berbagai arah, hasil irisannya akan membentuk beberapa bangun. Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mempelajari berbagai bentuk irisan kerucut yang meliputi lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Bentuk sebuah kerucut utuh adalah sebagai berikut.

kerucut

Bagian kerucut yang dipotong suatu bidang, hasil potongan tersebut akan membentuk sebuah bangun. Jika dipotong secara mendatar, hasil potongan kerucut berupa lingkaran. Kerucut yang dipotong dengan arah sudut tertentu akan membentuk elips atau parabola. Potongan secara tegak menghasilkan bangun hiperbola.

Berikut ini adalah gambar kerucut yang dipotong dari beberapa arah sehingga menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.

irisan kerucut (lingkaran, elips, parabola, hiperbola)

Pembahasan lainnya secara lebih lengkap dapat disimak pada uraian materi di bawah.

 

Lingkaran

Bentuk potongan irisan kerucut jika dipotong sebuah bidang dengan arah mendatar adalah lingkaran. Pembahasan materi irisan kerucut berupa bentuk lingkaran meliputi bentuk umum persamaan lingkaran dengan jari-jari dan pusat yang berbeda. Bentuk umum persamaan lingkaran dibedakan menjadi dua, yaitu berdasarkan pusat. Apakah pusat lingkaran berada di pusat koordinat kartesius O (0, 0) atau berada di suatu titik pada koordinat kartesius P(a, b). Selain itu, ada satu bentuk persamaan lingkaran yang diberikan dalam bentuk lain, yaitu x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0.

Simak ulasan persamaan rumus lingkaran lebih lengkapnya pada materi di bawah.

  1. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dengan jari-jari r

    Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r.

    lingkaran pusat O

  2.  

  3. Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dengan jari-jari r

    Berikut ini adalah gambar lingkaran dan persamaan umum lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r.

    lingkaran pusat P

  4.  

  5. Bentuk umum persamaan lingkaran II

    Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang telah diberikan di atas, ada juga bentuk umum persamaan lingkaran yang dapat digunakan untuk keduanya. Bentuk umum persamaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

    persamaan umum lingkaran

Baca Juga: Kedudukan titik terhadap lingkaran

Selanjutnya, pembahasan materi yang akan diberikan adalah elips.

 

Elips

Hasil potongan dari irisan kerucut berikutnya yang akan dibahas adalah elips. Bentuk elips seperti lingkaran yang dipipihkan. Elips dibedakan menjadi dua, yaitu elips horizontal dan elips vertikal. Bagian-bagian elips yang penting untuk diketahui adalah sumbu mayor, sumbu minor, fokus elips, puncak elips, pusat elips, lactus rectum, dan lain sebagainya

Lihat lebih lengkapnya pada gambar di bawah.

Elips Horizontal

Irisan kerucut (elips)

 

Elips Vertikal

elips vertikal

Berikutnya, akan diulas materi tentang persamaan elips, baik untuk elips horizontal dan elips vertikal.

  1. Elips Horizontal

    Perhatikan dua buah elips dengan dua pusat yang berbeda seperti pada gambar di bawah.

    irisan kerucut elips

    Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan-persamaan di bawah.

    persamaan elips pada pusat O dan pusat P

  2.  

  3. Elips Vertikal

    Berikut ini adalah dua gambar elips vertikal dengan pusat O dan P.

    Elips Vertikal pada pusat O dan Pusat P

    Berdasarkan dua elips di atas, akan diperoleh persamaan umum elips di bawah.

    persamaan elips vertikal pusat O dan P

Pada elips, hubungan antara puncak dan fokus (hubungan a, b, dan c) memenuhi persamaan di bawah.

Jika a > b (elips horizontal):

    \[ a^{2} = b^{2} + c^{2} \]

Jika a < b (elips vertikal)

    \[ b^{2} = a^{2} + c^{2} \]

Baca Juga: Kedudukan titik pada elips

Pembahasan berikutnya adalah parabola. Simak uraian tentang irisana kerucut selanjutnya, yaitu parabola, pada uraian materi yang akan diberikan di bawah.

 

Parabola

Bentuk parabola menyerupai kurva mulus pada persamaan kuadrat. Materi parabola yang akan dibahas di sini meliputi parabola dengan bentuk terbuka ke atas atau ke bawah dan parabola dengan bentuk terbuka ke samping kanan atau kiri. Bentuk parabola ini sesuai dengan persamaan yang membentuknya.

Dua bentuk parabola dapat dilihat pada gambar di bawah.

  1. Parabola horizontal
    Parabola horizontal
  2.  

  3. Parabola vertikal
    Irisan kerucut (parabola)

Pertama, ulasan yang akan dibahas adala parabola dengan titik puncak O(0, 0). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.

Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.

parabola

Bentuk umum persamaan parabola horizontal dan vertikal adalah sebagai berikut.

persamaan umum parabola

Kedua, ulasan yang akan dibahas adalah parabola dengan titik puncak P(a, b). Bentuk umum persamaan parobola, baik untuk parabola horizontal atau parabola vertikal adalah sebagai berikut.

Perhatikan dua bentuk parabola, horizontal dan vertikal, pada gambar di bawah.

Irisan Kerucut - Parabola

Bentuk umum persamaan kedua parabola, horizontal dan vertikal, dapat dilihat pada tabel di bawah.

Persamaan umum irisan kerucut (parabola)

Selanjutnya, akan dibahas materi irisan kerucut yang terakhir, yaitu hiperbola. Simak ulasan materinya yang akan diberikan pada pembahasan di bawah.

Baca Juga: Kedudukan titik pada parabola

 

Hiperbola

Hiperbola adalah bentuk irisan kerucut terakhir yang akan diulas. Komponen penyusun parabola adalah kurva, asimtot, garis arah (dirtektris), titik fokus, titik puncak, dan lain sebagainya. Semua komponen penyusun hiperbola saling berkaitan sehingga dapat dirumuskan sebuah persamaan umum. Nantinya, akan diberikan rumus persamaan umum hiperbola. Sebelumnya, perhatikan unsur-unsur penyusun hiperbola berikut.

Berikut ini adalah gambar hiperbola horizontal dan hiperbola vertikal beserta keterangan unsur-unsur penyusunnya.

  1. Hiperbola Horizontal

    Irisan kerucut (hiperbola)

  2.  

  3. Hiperbola Vertikal

    hiperbola vertikal

Selanjutnya, akan diulas persamaan yang terdapat pada hiperbola. Untuk pembahasan yang pertama adalah hiperbola dengan pusat O(0,0).

Irisan Kerucut Hiperbola

Berikut ini adalah rumus umum pada hiperbola dengan pusat O(0,0).

Persamaan umum hiperbola

Selanjutnya adalah hiperbola, baik hiperbola horizontal atau hiperbola vertikal, dengan pusat P(p, q).

Perhatikan dua bentuk hiperbola yang diberikan di bawah.

hiperbola pada pusat P

Rumus umum yang dapat digunakan sesuai dua gambar di atas dapat dilihat pada gambar di bawah.

persamaan umum hiperbola

Sekian pembahasan mengenai irisan kerucut yang meliputi lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola