Kedudukan Antara Dua Lingkaran

By | November 3, 2017

Kedudukan antara dua lingkaran atau kedudukan 2 lingkaran menujukkan posisi antara lingkaran pertama dan lingkaran kedua. Posisi tersebut dapat berupa lingkaran di dalam lingkaran, kedua lingkaran bersinggungan di dalam lingkaran, kedua lingkaran berpotongan di dua titik, kedua lingkaran bersinggungan di luar lingkaran, atau kedua lingkaran saling lepas (tidak memiliki titik potong). Untuk menentukan posisi lingkaran pertama terhadap lingkaran ke dua akan sangat mudah jika di lihat dalam gambar. Seperti halnya terlihat pada gambar di bawah.

Kedudukan Antara Dua Lingkaran

Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa posisi lingkaran ke dua berada di dalam lingkaran pertama. Namun, bagaimana jika yang diketahui hanya persamaan kedua lingkaran? Mencari tahu kedudukan 2 lingkaran dengan menggambarnya terlebih dahulu tentu bukan merupakan solusi yang baik. Cara ini sangat tidak efektif, sehingga tidak dianjurkan. Lalu, bagaimana cara untuk mengetahui kedudukan antara dua lingkaran yang baik? Caranya dapat dilakukan dengan memanfaatkan rumus jarak antara dua titik dan kriteria yang akan dibahas pada materi di bawah. Sebelumnya, akan mari kita ingat kembali rumus mengenai jarak antara dua titik.

 

Jarak Titik Terhadap Garis

  1. Jarak antara titik P(x_{1}, \; y_{1}) dan Q(x_{2}, y_{2}).
     
    Rumus Menghitung Jarak Antara Dua Titik

        \[ d =\sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} + \left( y_{1} - y_{2} \right)^{2}} \]

  2.  

  3. Jarak antara titik P(x_{1}, \; y_{1}) ke garis ax + by + c = 0.
     
    Cara menghitung jarak titik dan garis

        \[d = \left| \frac{ax_{1} + by_{1} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right|\]

Kadua rumus di atas berguna untuk menentukan jarak antara kedua pusat lingkaran. Sehingga, kedudukan 2 lingkaran dapat diketahui melalui bentuk umum persamaan lingkarannya, tanpa harus menggambarnya terlebih dahulu. Oke, sekarang mari kita simak kriteria untuk menentukan kedudukan 2 lingkaran.

Baca Juga: Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
 
 

Kriteria Kedudukan Antara Dua Lingkaran

Diketahui dua buah lingkaran:

  1. Lingkaran 1 (L_{1})
    • Pusat: P_{1}
    • Jari-jari: r_{1}
  2.  

  3. Lingkaran 2 (L_{2})
    • Pusat: P_{2}
    • Jari-jari: r_{2}

 
Kriteria kedudukan antara dua lingkaran adalah sebagai berikut.

  1. Memiliki Pusat yang Sama
    Jika P_{1} = P_{2} dan \left| P_{1} P_{2} \right| = 0, maka L_{1} memiliki pusat yang sama dengan L_{2}.
     
    Kedudukan 2 Lingkaran
     
  2. Bersinggungan di dalam lingkaran
    Jika \left| P_{1}P_{2} \right| = (r_{1} - r_{2}), maka L_{1} dan L_{2} bersinggungan di dalam salah satu lingkaran.
     
    Kedua lingkaran bersinggungan di dalam lingkaran
  3. Lingkaran kecil terletak di dalam lingkaran besar
    Jika \left| P_{1}P_{2} \right| \leq (r_{1} - r_{2}), maka L_{2} di dalam L_{1}.
     
    Kedudukan Antara Dua Lingkaran
  4. Berpotongan di dua titik
    Jika (r_{1} - r_{2}) < \left| P_{1} P_{2} \right| < (r_{1} + r_{2}), maka L_{1} berpotongan dengan L_{2} di dua titik.
     
    Kedua lingkaran berpotongan di dua titik
  5. Bersinggungan di luar lingkaran (berpotongan di satu titik)
    Jika \left| P_{1} P_{2} \right| = r_{1} + r_{2}, maka L_{1} dan L_{2} bersinggungan di luar lingkaran.
     
    Kedua lingkaran bersinggungan di luar lingkaran
  6. Tidak Bersinggungan (Saling Lepas)
    Jika \left| P_{1} P_{2} \right| > r_{1} + r_{2}, maka L_{1} dan L_{2} tidak bersinggugan.
     
    Kedudukan Antara Dua Lingkaran

Keterangan: \left| P_{1} P_{2} \right| adalah jarak antara kedua pusat lingkaran. Gunakan rumus jarak antara dua titik untuk menghitung jarak kedua pusat lingkaran.
 
Baca Juga: Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik
 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal menentukan kedudukan dua lingkaran

Diketahui pusat lingkaran L_{1} adalah (2, 6) dengan panjang jari-jari 2 cm. Sedangkan koordinat pusat lingkaran L_{2} adalah (10, 0) dengan jari-jari 6 cm. Selidikilah kedudukan antara lingkaran L_{1} dan lingkaran L_{2}!

Pembahasan:
Diketahui:

    \[ P_{1} (2, 6) \rightarrow r_{1} = 2 \; \textrm{cm} \]

    \[ P_{2} (10, 0) \rightarrow r_{2} = 6 \; \textrm{cm} \]

Akan dihitung jarak antara kedua titik pusat P_{1}(2, 6) dan P_{2}(10,0)

    \[ \left| P_{1} P_{1}\right| = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - x_{2})^{2}} \]

    \[ \left| P_{1} P_{1}\right| = \sqrt{(2- 10)^{2} + (0 - 6)^{2}} \]

    \[ \left| P_{1} P_{1}\right| = \sqrt{(-8)^{2} + (- 6)^{2}} \]

    \[ \left| P_{1} P_{1}\right| = \sqrt{64 + 36} \]

    \[ \left| P_{1} P_{1}\right| = \sqrt{100} = 10 \; \textrm{cm} \]

Jumlah jari-jari adalah r_{1} + r_{2} = 2 + 6 = 8 cm.

Hungan antara jarak antara kedua pusat lingkaran dengan jari-jari adalah

    \[  \left| P_{1} P_{2}\right| > r_{1} + r_{2} \]

Kriteria di atas merupakan kondisi untuk kedua lingkaran yang saling bebas (tidak berpotongan atau bersinggungan).
 
Kedudukan Antara Dua Lingkaran

Jadi, hubungan antara L_{1} dan L_{2} adalah saling lepas.