Kedudukan Garis Terhadap Elips

By | April 5, 2018

Pembahasan terkait elips akan berlanjut pada kedudukan garis terhadap elips. Sebelumnya telah dibahas tentang bentuk umum persamaan elips dan kedudukan titik terhadap elips. Hampir sama dengan kedudukan titik pada elips, kedudukan garis terhadap elips juga dibagi ke dalam tiga kondisi. Ketiga kondisi kedudukan garis terhadap elips meliptui garis tidak memotong elips, garis memtong elips di satu titik (menyinggung elips), dan garis memotong elips di dua titik.

Gambaran secara lebih jelas tentang kedudukan garis terhadap elips dapat dilihat pada gambar di bawah.

kedudukan garis terhadap elips

Secara umum, langkah-langkah menentukan kedudukan garis pada elips ada tiga langkah. Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan kedudukan garish terhadap elips.

  1. Substitusi persamaan garis lurus ke dalam persamaan elips sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
  2. Menentukan nilai diskriminan dari hasil persamaan kuadrat yang diperoleh.
  3. Menyimpulkan hasilnya, apakah garis tidak memotong elips, garis memotong elips di satu titik, atau garis memotong elips di dua titik. Kesimpulan ini diperoleh dari nilai diskriminan yang telah dihitung pada poin ke dua.

Sebelum lanjut materi menentukan kedudukan garis terhadap elips, perhatikan bahwa dalam langkah-langkah menentukan kedudukan garis pada elips ada langkah menentukan nilai dikriminan. Masih ingatkah apa itu diskriminan? Diskrimnan adalah hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat untuk mencari hubungan kedudukan garis terhadap parabola. Jika diketahui persamaan kuadrat y = ax^{2} + bx + c maka nilai diskriminannya dapat diperoleh melalui rumus D = b^{2}-4ac.

rumus diskriminan

Setelah sedikit mengingat kembali apa itu dikriminan, sobat idschool sekarang dapat melanjutkan pembahasan materi tentang kriteria kedudukan garis terhadap elips. Ulasan pertama yang akan di bahas adalah kedudukan garis yang tidak memotong elips. Simak ulasan lebih lengkapnya pada pembahasan di bawah.

Baca Juga: Kedudukan Garis Terhadap Parabola

 

Garis Tidak Memotong Elips

Sebuah garis dikatakan tidak memotong elips jika garis dan elips tidak memiliki titik potong, keduanya saling lepas. Sobat idschool dapat mengetahui garis tidak memotong elips dari nilai diskriminannya. Jika nilai diskriminan elips kurang dari nol (D < 0 ) maka garis dan elips saling lepas. Dengan kata lain, garis tidak memotong elips.

Perhatikan gambar di bawah!

kriteria garis tidak memotong elips

Untuk menambah pemahaman sobat idschool, akan diberikan contoh soal tentang kedudukan garis tidak memotong elips. Perhatikan contoh soal yang akan diberikan di bawah.

Contoh soal kedudukan garis terhadap elips untuk garis tidak memotong elips.

Tentukan kedudukan garis y = x + 5 pada elips dengan persamaan seperti berikut.

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

Pertama, kita akan menentukan kedudukan garis y = x + 5 terhadap elips dengan melihat nilai diskriminannya. Selanjutnya, kita akan melihat kedudukan garis terhadap elips dari gambar.

Substitusi persamaan garis y = x + 5 pada persamaan elips:

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( x + 5  - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( x + 4 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ x^{2} - 4x + 4 }{9} + \frac{ x^{2} + 8x + 16 }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) }{36} + \frac{ 9 \left( x^{2} + 8x + 16 \right) }{36} = 1 \]

    \[ 4 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) + 9 \left( x^{2} + 8x + 16 \right) = 36 \]

    \[ 4x^{2} -  16x + 16 + 9 x^{2} + 72x + 144 = 36 \]

    \[ 13x^{2} + 56x + 160 = 36 \]

    \[ 13x^{2} + 56x + 124 = 0 \]

Dari persamaan kuadrat yang didapat di atas, diperoleh nilai a = 13, b = 56, dan c = 124. Selanjutnya akan ditentukan nilai diskriminannya.

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

    \[ D = 56^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 124 \]

    \[ D = 3.136 - 6.448 \]

    \[ D = - 3.312 \]

Bedasarkan hasil perhitungan di atas, nilai diskriminannya adalah -3.312 (D < 0). Sehingga, kesimpulannya adalah garis tidak memotong elips. Sebagai pembuktiannya, perhatikan gambar garis dan elips sesuai dengan soal yang diberikan sebelumnya.

Gambar garis tidak memotong elips

Terlihat bahwa garis y = x + 5 tidak menyinggung elips. Lanjut ke pembahasan berikutnya, akan diulas tentang kedudukan garis terhadap elips yang ke dua, yaitu garis memotong elips pada satu titik (garis menyinggung elips).

 

Garis Memotong Elips di Satu Titik (Menyinggung Elips)

Kedudukan garis terhadap elips yang akan dibahas di sini adalah garis memotong elips pada satu titik. Atau dapat juga dikatakan dengan garis menyinggung elips. Sebuah garis dikatakan menyinggung elips jika hanya memiliki satu titik potong. Garis memotong elips di satu titik dapat dilihat jika nilai dikriminannya sama dengan nol, D = 0.

Berikut ini adalah kriteria garis memotong elips di satu titik.

kriteria garis memotong elips di satu titik

Untuk menambah pemahaman sobat idschool, akan diberikan contoh soal kedudukan garis terhadap elips untuk kasus garis menyinggung elips.

Contoh soal kedudukan garis terhadap elips untuk garis memotong elips di satu titik (menyinggung elips).

Tentukan kedudukan garis y = -1 pada elips dengan persamaan seperti berikut.

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

Pertama, kita akan menentukan kedudukan garis y = - 1 terhadap elips dengan melihat nilai diskriminannya. Selanjutnya, kita akan melihat kedudukan garis terhadap elips dari gambar.

Substitusi persamaan garis y = -1 pada persamaan elips:

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( -1 - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ x^{2} - 4x + 4 }{9} + \frac{ \left( -2 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ x^{2} - 4x + 4 }{9} + \frac{4}{4} = 1 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) }{36} + \frac{36}{36} = 1 \]

    \[ \frac{ 4x^{2} - 16x + 16 }{36} + \frac{36}{36} = 1 \]

    \[ \frac{ 4x^{2} - 16x + 16 + 36 }{36} = 1 \]

    \[ \frac{ 4x^{2} - 16x + 52 }{36} = 1 \]

    \[ 4x^{2} - 16x + 52  = 36 \]

    \[ 4x^{2} - 16x + 52  - 36 = 0 \]

    \[ 4x^{2} - 16x + 16 = 0 \]

    \[ x^{2} - 4x + 4 = 0 \]

Dari persamaan kuadrat yang didapat di atas, diperoleh nilai a = 1, b = -4, dan c = 4. Selanjutnya akan ditentukan nilai diskriminannya.

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

    \[ D = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 \]

    \[ D = 16 - 16 \]

    \[ D = 0 \]

Bedasarkan hasil perhitungan di atas, nilai diskriminannya adalah nol (D = 0). Sehingga, kesimpulannya adalah garis menyinggung elips (memotong elips di satu titik). Sebagai pembuktiannya, perhatikan gambar garis dan elips sesuai dengan soal yang diberikan sebelumnya.

Gambar garis tidak memotong elips di satu titik

Terlihat bahwa garis y = -1 memotong elips di satu titik (menyinggung elips).

Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Elips

 

Garis memotong Elips di Dua Titik

Berikutnya adalah ulasan kedudukan garis terhadap elips untuk garis memotong elips di dua titik. Garis yang memotong elips di dua titik, artinya memiliki dua buah titik yang sama-sama dilalui, baik oleh garis atau elips. Kriteria garis memotong elips di dua titik dapat dilihat dari nilai diskriminannya yang lebih besar dari nol, D > 0.

Perhatikan kriteria garis memotong elips di dua titik pada gambar di bawah.

kriteria garis memotong elips di dua titik

Berikut ini adalah contoh soal menentukan kedudukan garis pada elips untuk kasus garis memotong elips di dua titik.

Contoh soal kedudukan garis terhadap elips untuk garis memotong elips di dua titik.

Tentukan kedudukan garis y = 2x + 3 pada elips dengan persamaan seperti berikut.

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

Pertama, kita akan menentukan kedudukan garis y = 2x + 3 terhadap elips dengan melihat nilai diskriminannya. Selanjutnya, kita akan melihat kedudukan garis terhadap elips dari gambar.

Substitusi persamaan garis y = 2x + 3 pada persamaan elips:

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( y - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( 2x + 3 - 1 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 2 \right)^{2} }{9} + \frac{ \left( 2x + 2 \right)^{2} }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ x^{2} - 4x + 4 }{9} + \frac{ 4x^{2} + 8x + 4 }{4} = 1 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x^{2} - 4x + 4 \right) }{36} + \frac{ 9 \left( 4x^{2} + 8x + 4 \right) }{36} = 1 \]

    \[ \frac{ 4x^{2} - 16x + 16 }{36} + \frac{ 36x^{2} + 72x + 36 }{36} = 1 \]

    \[ \frac{ 4x^{2} - 16x + 16 + 36x^{2} + 72x + 36 }{36} = 1 \]

    \[ 4x^{2} - 16x + 16 + 36x^{2} + 72x + 36 = 36 \]

    \[ 40x^{2} + 56x + 52 = 36 \]

    \[ 40x^{2} + 56x + 52 - 36 = 0 \]

    \[ 40x^{2} + 56x + 16 = 0 \]

    \[ 5x^{2} + 7x + 2 = 0 \]

Dari persamaan kuadrat yang didapat di atas, diperoleh nilai a = 5, b = 7, dan c = 2. Selanjutnya akan ditentukan nilai diskriminannya.

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

    \[ D = 7^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 \]

    \[ D = 49 - 40 \]

    \[ D = 9 \]

Bedasarkan hasil perhitungan di atas, nilai diskriminannya adalah 9 (D > 0). Sehingga, kesimpulannya adalah garis memotong elips di dua titik. Sebagai pembuktiannya, perhatikan gambar garis dan elips sesuai dengan soal yang diberikan sebelumnya.

Gambar garis memotong elips di dua titik

Terlihat bahwa garis y = 2x + 3 memotong elips di dua titik. Demikianlah ulasan materi tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Ketiga kriteria kedudukan garis pada elips sudah disampaikan. Mudah bukan? Berikut ini adalah rangkuman ketiga rumus kriteria kedudukan garis terhadap elips.

kedudukan garis pada elips

Sekian pembahasan kedudukan garis terhadap elips yang meliputi garis tidak memotong elips, garis memotong elips di satu titik (garis menyinggung elips), dan garis memotong elips di dua titik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola)