Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

By | November 3, 2017

Kedudukan garis terhadap lingkaran menyatakan posisi sebuah garis lurus dengan persamaan y = mx + n terhadap suatu lingkaran dengan bentuk persamaan x^{2} + y^{2} = r^{2}, (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}, atau x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0. Seperti halnya kedudukan titik terhadap lingkaran, kedudukan garis terhadap lingkaran juga dibedakan dalam tiga kondisi. Ketiga kedudukan tersebut adalah memotong lingkaran di dua titik, menyinggung lingkaran (memtotong lingkaran pada satu titik), dan tidak memotong lingkaran.

Sebelumnya, mari kita ingat kembali sedikit materi tentang persamaan kuadrat. Sebuah persamaan kuadrat memiliki pangkat tertinggi 2 (dua). Biasanya, persamaan kuadrat dinyatakan dalam bentuk ax^{2} + bx + c = 0. Nilai determinan dari bentuk umum persamaan kuadrat ini adalah,

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

 
Rumus menghitung nilai diskriminan di atas dapat digunakan untuk mengatuhi kedudukan garis terhadap lingkaran. Persamaan kuadrat yang digunakan merupakan hasil dari substitusi garis y = mx + n ke bentuk umum persamaan lingkaran yang diketahui. Jika diketahui lingkaran dengan bentuk umum x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0 dan garis y = mx + n, maka hasil substitusinya adalah sebagai berikut.

    \[ x^{2} + (mx + n)^{2} + Ax + B(mx + n) + C = 0 \]

    \[ x^{2} + m^{2}x^{2} + 2mnx + n^{2} + Ax + Bmx + Bn + C = 0 \]

    \[ (m^{2} + 1)x^{2} + (2mn + Bm + A)x + n^{2} + Bn + C = 0 \]

 
Nilai diskriminan ditentukan dari persamaan kuadrat hasil substitusi seperti penjabaran di atas. Selanjutnya mari kita pelajari kedudukan garis terhadap lingkaran secara lebih lanjut pada pembahasan di bawah.

 
Baca Juga: Kedudukan 2 lingkaran
 
 

Garis memotong lingkaran pada dua titik

Gambar kedudukan garis terhadap lingkaran yang berpotongan pada dua titik dapat dilihat pada gambar di bawah.
 
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Kedudukan garis yang memotong dua titik pada lingkaran dapat terjadi jika nilai D > 0.

    \[ D > 0 \rightarrow (b^{2} -  4ac) > 0 \]

 

Garis menyinggung lingkaran (berpotongan pada satu titik)

Contoh kedudukan garis terhadap lingkaran yang menyinggung lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.
 
Garis menyinggung lingkaran
Kedudukan garis yang memotong satu titik pada lingkaran (menyinggung lingkatan) dapat terjadi jika nilai D = 0.

    \[ D = 0 \rightarrow (b^{2} -  4ac) > 0 \]

 

Garis tidak memotong lingkaran

Selanjutnya adalah kondisi yang ketiga, yaitu posisi garis dan lingkaran saling lepas, atau dapat dikatakan bahwa garis tidak memotong lingkaran. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Kedudukan garis yang tidak memotong lingkaran (tidak memiliki titik perpotongan atau persinggungan) dapat terjadi jika nilai D < 0.

    \[ D < 0 \rightarrow (b^{2} -  4ac) < 0 \]

 
Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
 
 

Contoh Soal dan Pembahasan:

Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan garis terhadap Lingkaran
Selediki kedudukan garis y = \frac{2}{3}x - 3 pada lingkaran dengan persamaan x^{2} + y^{2} + 6x - 12y - 19 = 0!
Pembahasan:
Substitusi persamaan garis y = \frac{2}{3}x - 3 pada lingkaran x^{2} + y^{2} + 6x - 12y - 19 = 0,

    \[ x^{2} + y^{2} + 6x - 12y - 19 = 0 \]

    \[ x^{2} + \left( \frac{2}{3}x - 3 \right)^{2} + 6x - 12 \left( \frac{2}{3}x - 3 \right) - 19 = 0 \]

    \[ x^{2} + \left( \frac{4}{9}x^{2} - 2 \cdot \frac{2}{3}x \cdot 3 + 9 \right) + 6x - 8x + 36 - 19 = 0 \]

    \[ x^{2} + \frac{4}{9}x^{2} -  4x + 9  + 6x - 8x + 36 - 19 = 0 \]

    \[\frac{13}{9}x^{2} - 4x + 6x - 8x + 9 + 36 - 19 = 0 \]

    \[ \frac{13}{9}x^{2} - 6x + 26 = 0 \]

Berdasarkan persamaan kuadrat di atas diperoleh

    \[ a = \frac{13}{9} \]

    \[ b = - 6x \]

    \[ c = 26 \]

Nilai diskriminan (D) dari persamaan kuadrat \frac{13}{9}x^{2} - 6x + 26 = 0 adalah

    \[ D = b^{2} - 4ac\]

    \[ D = (-6)^{2} - 4 \left( \frac{13}{9} \right)(26) \]

    \[ D = 36 - \frac{1.352}{9} \]

    \[ D = \frac{324 - 1.352}{9} = -\frac{1.028}{9} = -114 \frac{2}{9} \]

Karena nilai D = -114 \frac{2}{9} < 0, maka garis tersebut tidak memotong lingkaran (saling lepas).