Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

By | November 22, 2017

Sedikit mengulang tentang matriks yang dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang disusun dalam baris dan kolom. Sebelumnya, sobat idschool pasti sudah mempelajari materi tentang matrik, operasi hitung pada matriks , dan sifat-sifatnya. Pada pembahasan kali ini, sobat idschool akan mempalajari contoh lain kegunaan matriks yaitu untuk menentukan hasil transformasi geometri. Tidak sedikit permasalahan dalam tranformasi geometri yang disajikan dalam beberapa kali transformasi. Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan menyelesaikan komposisi transformasi geometri dengan matriks. Dengan kata lain, hasil komposisi transformasi geometri diperoleh dengan menyelesaikan perhitungan matriksnya. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai komposisi transformasi geometri dengan matriks, ingat kembali matriks transformasi yang telah dibahas pada pembahasan sebelumnya. Secara singkat dapat dilihat pada tabel di bawah.

Kumpulan matriks transformasi geometri

 

Proses menentukan hasil tranformasi dapat diperoleh melalui perkalian matriks yang mewakili matriks transformasi geometrinya. Namun, peletakan matriksnya berkebalikan dengan proses transformasinya. Misalkan sebuah transformasi geometri yang dinyatakan dalam dilatasi sebesar k dilanjutkan rotasi sebesar \alpha dengan pusat O(0,0). Maka persamaan perkalian matriks yang dibentuk adalah matriks rotasi sebesar \alpha dengan pusat O(0,0) dikali matriks dilatasi sebesar k. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

Komposisi Transformasi Geometri dengan matriks

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal komposisi transformasi geometri dengan matriks

Sebuah kurva dengan persamaan y = x^{2} - 2x - 3 dirotasi sebesar 180^{o} dengan pusan O(0,0) kemudian dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x. Persamaan kurva hasil translasi adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x = y^{2} + 2y  + 3 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x = y^{2} - 2y  + 3 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x = y^{2} - 2y  - 3 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = x^{2} - 2x  + 3 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; y = x^{2} - 2x  - 3 \]

Pembahsan:
Matriks rotasi sebesar 180^{o} dengan pusat O(0,0):

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} cos 180^{o} & -sin 180^{o} \\ sin 180^{o} & cos 180^{o} \end{pmatrix} \]

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

 
Matriks refleksi terhadap garis y = -x:

    \[ T_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

 
Sehingga, hasil translasi geometri dapat diperoleh dengan menyelesaikan komposisi transformasi geomteri dengan matriks seperti persamaan di bawah.

    \[ \begin{pmatrix} x'  \\ y' \end{pmatrix} = T_{2} \bullet T_{1} \cdot \begin{pmatrix} x  \\ y  \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'  \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x  \\ y  \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'  \\ y'  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x  \\ y  \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'  \\ y'  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \]

 
Substitusi y = x' dan x = y' pada persamaan y = x^{2} - 2x - 3 sehingga diperoleh persamaan di bawah.

    \[ x'= y'^{2} - 2y' - 3 \]

Jadi, persamaan kurva hasil translasi adalah x= y^{2} - 2y - 3
Jawaban: C

 
Oke, sekian pembahasan mengenai komposisi fungsi transformasi geometri dengan matriks. Semoga bermanfaat, terimakasih sudah mengunjungi idschool.net
Baca Juga: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut