Langkah-langkah Pembuktian Rumus Menggunakan Induksi Matematika

By | December 6, 2017

Pembuktian menggunakan induksi matematika dapat juga dipahami sebgai pembuktian dengan efek domino. Maksudnya, cara pembuktian kebenaran pada induksi matematika mengenai target utama secara tidak langsung (melalui perantara). Seperti pada domino yang disusun kemudian bagian salah satu ujungnya dirobohkan, maka salah satu ujung lainnya juga akan mengalami dampaknya (ikut roboh). Biasanya, pembuktian menggunakan metode induksi matematika pada tingkat sekolah menengah atas digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan umum mengenai deret. Sehingga, pembahasan induksi matematika masih termasuk dalam pembahasan barisan dan deret aritmetika/geometri. Kembali ke masalah pembahasan mengenai induksi matematika, perhatikan ilustrasi efek domino pada gambar di bawah.

Efek Domino Induksi Matematika

 
Langkah-langkah pembuktian rumus menggunakan induksi matematika:

  1. Buktikan benar untuk n = 1.
  2. Asumsikan benar untuk n = k, kemudian tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = k + 1.

 
Mengapa hanya dengan dua langkah pembuktian di atas dapat membuktikan kebenaran suatu rumus? Simak penjelasan lanjutnya pada pemaparan di bawah.

Penjelasan langkah-langkah pembuktian menggunakan metode induksi matematika dapat dijelasakan seperti berikut. Pertama, pembuktian ditunjukkan benar untuk n yang mewakili angka 1. Ini syarat dasar yang harus dipenuhi untuk membuktikan pernyataan matematika menggunakan induksi matematika. Jika syarat pertama tidak dapat dipenuhi, maka tidak usah dilanjutkan ke langkah berikutnya karena sudah pasti pernyataan tersebut bernilai salah (rumus tidak terbukti benar). Jika terbukti benar untuk syarat pertama, selanjutnya adalah membuktikan benar untuk langkah berikutnya, asumsikan benar untuk n = k dan buktikan benar untuk n = k + 1. Buatlah pernyataan dengan asumsi benar (anggapan benar) untuk n = k. Selanjutnya gunakan asumsi tersebut untuk membuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1. Setelah terbukti benar untuk n = k + 1, sobat idschool dapat memahami bahwa jika nilai k diganti dengan angka nol maka pernyataan akan sesuai dengan pernyataan pertama (terbukti benar untuk n = 1). Selanjutnya, untuk k = 1 (nilai n = 2) juga akan benar karena sudah terbukti bahwa n = k + 1, maka n = 1 + 1 = 2 benar. Begitu seterusnya untuk nilai n lainnya, sehingga terbukti benar untuk semua n bilangan asli.

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Perhatikan contoh soal dan pembahasan induksi matematika.
Buktikan bahwa pernyataan di bawah benar!

    \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \]

Bukti:

  1. Akan dibuktikan benar untuk n = 1

        \[ \sum_{i=1}^{1} 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]

        \[ 1 = \frac{2}{2} \]

        \[ 1 = 1 \]

    Berdasarkan persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa terbukti benar untuk n = 1

  2.  

  3. Asumsikan benar untuk n = k

        \[ \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} \]

     
    Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1.

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]

    Bukti:

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) \]

    Substitusi asumsi benar untu n = k, sehingga diperoleh persamaan di bawah.

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} \]

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{k(k+1) + 2(k + 1)}{2} \]

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{k^{2} + k + 2k + 2}{2} \]

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{k^{2} + 3k + 2}{2} \]

        \[ \sum_{i=1}^{k + 1} i = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]

    Persamaan terakhir merupakan kondisi yang kita harapkan, dimana persamaan tersebut terbukti untuk n = k + 1.
    Dengan demikian, proses pembuktian rumus dengan induksi matematika sudah selesai dan terbukti bahwa

        \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} \]

    Untuk semua n bilangan asli.

 
Oke, sekian pembahasan singkat mengenai Langkah-langkah Pembuktian Rumus Menggunakan Induksi Matematika. Jika ada kekeliruan penulisan atau kurang teliti dalam menghitung bisa kasih komen di bawah. Jika ada soal terkait induksi matematika yang susah untuk dibuktikan juga bisa tinggalkan dalam kolom komentar dibawah. Terimakasih sudah mengunjung idschool.net, semoga bermanfaat. Baca Juga: Pengertian, Rumus, dan Sifat-sifat Notasi Sigma