Aplikasi Integral: Mencari Luas Daerah yang dibatasi Kurva

By | May 18, 2017

Aplikasi integral dapat ditemukan pada cara mencari luas daerah yang dibatasi kurva. Baik yang dibatasi oleh sebuah kurva atau lebih. Selain itu, aplikasi integral juga digunakan untuk mencari volume benda putar yang merupakan daerah yang dibatasi kurva kemudian diputar 360^{o} mengelilingi sumbu x atau sumbu y. Melalui halaman ini, idschool akan mengulas aplikasi integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva. Sedangkan untuk aplikasi intengral untuk mencari volume benda putar dapat disimak ulasannya pada halaman lain.

Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan, lalu bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan? Solusinya adalah menghitung luas daerah dengan integral. Misalnya, luas persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus sisi x sisi, persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus panjang x lebar, sedangkan luas yang dibatasi oleh kurva x2 dan garis y = x dapat dihitung dengan menggunakan integral.

Sebelum mengulas aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva lebih lanjut, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai kemampuan dasar untuk menentukan hasil integral dari sebuah fungsi terlebih dahulu. Kemampuan yang harus dimiliki juga terkait menggambar fungsi, baik fungsi kuadrat, fungsi linear, dan lain sebagainya. Hal ini akan memudahkan sobat idschool untuk menyelesaikan soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Simak ulasan pertama mengenai luas daerah yang dibatasi sebuah kurva pada pembahasan di bawah.

Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva

Luas suatu daerah yang dibatasi sebuah kurva dapat dicari menggunakan rumus integral. Pehatikan gambar luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan rumus integral untuk mencari luas daerah tersebut di bawah!

luas daerah yang dibatasi kurva

Selain rumus integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva yang telah diberikan di atas, terdapat juga aturan penggunaan rumus integral. Berikut ini adalah aturan penggunaan aturan integral dalam mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva.

 

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x

 

 

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x

 

 

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kanan sumbu y

 

 

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kiri sumbu y

 

 

Luas Daerah Diantara Dua Kurva

Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva, pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih.

 

Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)

luas daerah yang dibatasi dua kurva

Berikut ini akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang menentukan luas daerah yang dibatasi dua buah kurva.

Tentukan luas yang dibatasi oleh garis y = −x + 2 dan y = x2

Jawab:

Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya, seperti gambar berikut ini.

luas daerah yang dibatasi dua kurva

Selanjutnya adalah menentukan batas atas dan batas bawah (titik perpotongan dua kurva).



Sehingga diperoleh nilai x = - 2 dan x = 1.

Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x^{2} dan y = &minus x + 2 adalah









Keterangan: tanda negatif pada hasil akhir menujukkan bahwa pemisalan fungsi pertama dan kedua tidak tepat namun hasilnya tidak mempengaruhi nilai yang diperoleh, sehingga diambil nilai mutlak dari hasil akhirnya.

Untuk menambah pengetahuan sobat idschool mengenai luas daerah yang dibatasi kurva, simak contoh soal dan pembahasan lainnya yang akan diberikan di bawah.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x^{2} + 2x + 3 dan g(x) = 3 - x adalah … satuan luas.

A.       3
B.       4,5
C.       6
D.       7,5
E.       9
 
Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambar fungsi f(x) dan g(x).

Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola, jika belum bisa menggambar grafik fungsi kuadrat bisa dibuka melalui halaman ini.

grafik fungsi kuadrat

Fungsi g(x) merupakan fungsi garis lurus, cara menggambar grafik lurus dapat dilihat di sini.

contoh soal luas daerah yang dibatasi dua kurva

Gambar kedua fungsi dapat dilihat seperti berikut. Sebelumnya, akan dicari titik koordinat perpotongan fungsi f(x) dan g(x) terlebih dahulu. Caranya adalah sebagai berikut.

Titik potong kurva:

    \[ x^{2} + 2x + 3 = 3 - x \]

    \[ x^{2} + 3x = 0 \]

    \[ x \left( x + 3\right) = 0 \]

Diperoleh dua persamaan, yaitu x = 0 atau x + 3 = 0, sehingga

    \[ x = 0 \rightarrow y = 3 - 0 = 3 \]

Atau

    \[ x + 3 = 0 \]

    \[ x = -3 \rightarrow y = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6 \]

Sehingga luas daerah yang dibatasi dua kurva seperti yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut.

contoh soal luas daerah yang dibatasi dua kurva

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = -3 dan b = 0.

    \[ L = \int_{-3}^{0} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx\]

    \[ = \int_{-3}^{0} \left( \left(x^{2} + 2x + 3 \right) - \left(3 - x \right) \right) \; dx\]

    \[ = \int_{-3}^{0} \left(x^{2} + 3x \right) \; dx\]

    \[ = \left[ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} \right] _{-3}^{0} \]

    \[ = \left( \frac{1}{3} \left( 0\right)^{3} + \frac{3}{2}\left( 0\right)^{2} \right) - \left( \frac{1}{3} \left( -3 \right)^{3} + \frac{3}{2}\left( -3 \right)^{2} \right) \]

    \[ = 0 - \left( -9 + \frac{27}{2} \right) \]

    \[ = - \left( -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} \right) \]

    \[ = - \left( -\frac{9}{2} \right) = 4, 5 \; \textrm{sat. luas} \]

Jawaban: b

Contoh 2

Perhatikan gambar di bawah!

rumus integral mencari luas daerah yang dibatasi dua kurva

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx +  \int_{b}^{d} g(x) \; dx - \int_{b}^{c} f(x) \; dx \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx +  \int_{b}^{d} \left( g(x)  - f(x) \right) \; dx \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \int_{a}^{d} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \int_{a}^{d} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx -  \int_{c}^{d}  g(x) \; dx \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx +  \int_{c}^{d} \left( g(x) - f(x) \right) \; dx \]

 
Pembahasan:

Untuk mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva, dapat diperoleh dengan membagi luas daerah menjadi beberapa bagian. Perhatikan gambar di bawah.

pembahasan luas daerah yang dibatasi dua kurva

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral dapat dicari melalui persamaan berikut.

    \[ \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx +  \int_{b}^{d} g(x) \; dx - \int_{b}^{c} f(x) \]

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai materi aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca juga: Aplikasi Integral: Mencari Volume Benda Putar