Bentuk Akar

By | May 18, 2017
Seperti halnya pada materi eksponen, akar juga memiliki sifat-sifat akar yang diperlukan untuk menyelesaikan soal dalam bentuk akar. Sifat-sifat akar dapat dilihat sepeti rumus umum berikut.

    \[\sqrt[n]{a^{m}}\;=\;a^{\frac{m}{n}}\]

    \[\sqrt[n]{ab}\;=\;\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\]

    \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\;=\;\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

    \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\;=\;\sqrt[m\cdot n]{a}\]

 
Bentuk-bentuk Akar Sekawan
Bentuk akar sekawan digunakan untuk merasionalkan bentuk akar dalam menyederhanakan pecahan. Bentuk akar sekawan menyesuaikan pembilang dari suatu pecahan. Bentuk umum akar dan akar sekawannya dapat dilihat seperti rumus berikut.

Bentuk akarAkar sekawan

    \[\left(a+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\]

 
Menyederhanakan bentuk pecahan dalam bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan akar sekawannya. Caranya dapat dilihat seperti berikut ini.

    \[\frac{a}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\]

    \[\frac{a}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b + \sqrt{c}} \cdot \frac{b - \sqrt{c}}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b - \sqrt{c}\right)}{b - \sqrt{c}}\]

    \[\frac{a}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b - \sqrt{c}} \cdot \frac{b + \sqrt{c}}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b + \sqrt{c}\right)}{b + \sqrt{c}}\]


 
Contoh soal dan pembahasan
Contoh 1

    \[\textrm{Bentuk sederhana dari}\;\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}\;\textrm{adalah ....}\; \textrm{(Soal UN 2016)}\]

    \[\textrm{A.  }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

    \[\textrm{B.  }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\sqrt{5}\]

    \[\textrm{C.  }\frac{2}{3}\sqrt{14}-\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

    \[\textrm{D.  }\frac{2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}\]

    \[\textrm{E.  }\frac{2}{3}\sqrt{35}+\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

Pembahasan:

    \[\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \;= \;\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}\;\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{14}-\sqrt{35}}{2-5}\]

    \[=\frac{-2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}\]

    \[=\;\frac{2}{3}\sqrt{35}\;-\;\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

Jawaban: A

 

Contoh 2

Bentuk sederhana dari \frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2} adalah ….

    \[\textrm{A.   }4-2\sqrt{3}\]

    \[\textrm{B.   }2-\sqrt{3}\]

    \[\textrm{C.   }-2+\sqrt{3}\]

    \[\textrm{D.   }-4+\sqrt{3}\]

    \[\textrm{E.   }-4-2\sqrt{3}\]

Pembahasan:

    \[\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2}\;=\;\frac{5-3}{\sqrt{3}+2} \frac{5-3}{\sqrt{3}+2}\;\]

    \[=\;\frac{2}{\sqrt{3}+2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}-2}\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{3-4}\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{-1}\;=\;4-2\sqrt{3}\]

Jawaban: A

Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!