Dimensi Tiga: Jarak Bidang ke Bidang

By | July 5, 2017

Pembahasan materi jarak pada dimensi tiga meliputi jarak antara unsur ruang (titik, garis, atau bidang). Melalui halaman ini, idschool akan mengulas materi mengenai jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik kek bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang. Khusus halaman ini, materi yang akan diulas adalah jarak bidang ke bidang, untuk meteri jarak pada dimensi tiga lainnya dapat disimak pada halaman lain (cek daftar materi SMA atau gunakan tombol search untuk memudahkan pencarian).

Setiap pembahasan materi jarak pada dimensi tiga, khususnya jarak bidang ke bidang, akan dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya. Hal ini bertujuan agar sobat idschool dapat lebih memahami materi jarak pada dimensi tiga.

Sebenarnya, kebanyakan cara untuk menyelesaikan soal dalam materi jarak pada dimensi tiga hanya menggunakan rumus dalam teorema pythagoras dan luas segitiga. Kuncinya adalah cermat mengamati posisi titik, garis, atau bidang. Langusng masuk ke pembahasan yaitu pengantar jarak bidang ke bidang.

 

Jarak Bidang ke Bidang

Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua. Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

jarak bidang ke bidang

Berikut ini akan diberikan contoh soal bidang ke bidang.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Bidang ke Bidang
Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….
A.     16 cm
B.     14 cm
C.     12 cm
D.     10 cm
E.     8 cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah.

 
contoh soal jarak bidang ke bidang pada dimensti tiga

 
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkah-langkah berikut.

 
Menghitung panjang PQ:
PB = BQ =\frac{1}{2} \cdot panjang rusuk kubus = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 cm
Sehingga, diperolah persamaan PQ seperti di bawah.

    \[PQ = \sqrt{\textrm{BP}^{2} + \textrm{BQ}^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{16 + 16} \]

    \[PQ = \sqrt{16 \cdot 2} \]

    \[PQ = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \]

    \[PQ = 4 \sqrt{2} \]

 

Segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tingg dan garis berat garis PQ. Jadi PM = MQ =\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} cm.

 
Mencari panjang BM (Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M):

    \[BM = \sqrt{BQ^{2} - QM^{2}} \]

    \[BM = \sqrt{4^{2} - (2 \sqrt{2})^{2}} \]

    \[BM = \sqrt{16 - 4 \cdot 2} \]

    \[BM = \sqrt{16 - 8} \]

    \[BM = \sqrt{8} \]

    \[BM = \sqrt{4 \cdot 2} \]

    \[BM = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \textrm{ cm}\]

 
Mencari panjang FM (Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B):

    \[FM = \sqrt{\textrm{BM}^{2} + \textrm{BF}^{2}} \]

    \[FM = \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2} + 8^{2}} \]

    \[FM = \sqrt{4 \cdot 2 + 64} \]

    \[FM = \sqrt{8 + 64} \]

    \[FM = \sqrt{72} \]

    \[FM = \sqrt{36 \cdot 2} \]

    \[FM = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]

 
Mencari panjang BD:
BD = diagonal sisi = \textrm{panjang rusuk} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \textrm{ cm}

 
Mencari Panjang DM:

    \[DM = \textrm{BD} - \textrm{BM} \]

    \[DM = 8 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \]

    \[DM = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]

 

Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya.
 
materi jarak pada dimensi tiga
 
Keterangan:
DM = FK = 6 \sqrt{2} cm
DK = FM = 6 \sqrt{2} cm
TK = BF = 8 cm

 
Mencari panjang ML:

    \[ \textrm{DK} \cdot \textrm{ML} = \textrm{DM} \cdot \textrm{KT} \]

    \[ \textrm{ML} = \frac{\textrm{DM} \cdot \textrm{KT}}{\textrm{DK}} \]

    \[ \textrm{ML} = \frac{ 6 \sqrt{2} \cdot 8}{6\sqrt{2}} \; = \; 8 \; \textrm{cm} \]

 
Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.
Jawaban: E

 
Sekian pembahasan mengenai materi jarak pada dimensi tiga, khususnya jarak bidang ke bidang. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

 
Baca Juga: Pengantar Dimensi Tiga (Bangun Ruang)