Dimensi Tiga: Jarak Titik ke Bidang

By | July 5, 2017

Ulasan materi yang diberikan pada dimensi tiga meliputi unsur penyusun dalam dimensi tiga misalnya diagonal sisi, diagonal ruang, bidang diagonal, bidang frontal dan sebagainya. Selain itu, terdapat juga materi yang mengulas jarak antar usnsur dalam dimensi tiga. Pembahasan materi jarak pada dimensi meiputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang.

Uraian materi yang akan disampaikan pada halaman ini adalah jarak titik ke bidang. Untuk materi lainnya dapat sobat idschool simak pada halaman lainnya (Cek daftar materi SMA atau gunakan tombol search untuk mempermudah pencarian). Selanjutnya, simak materi jarak titik ke bidang yang akan diberikan melalui ulasan di bawah.

 

Jarak Titik ke Bidang

Cara untuk menentukan jarak titik ke bidang hampir sama dengan jarak titik ke garis. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan proyeksi titik pada bidang terkait. Jarak titik ke bidang dinyatakan oleh jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. Dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa jarak antara titik A ke bidang \alpha adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang \alpha. Perhatikan gambar di bawah untuk lebih jelasnya.

jarak titik ke bidang

Jarak titik A pada bidang \alpha sama dengan jarak AA’ dengan titik A’ merupakan titik proyeksi A pada bidang \alpha.

Sekarang, latih pemahaman sobat idschool melalui contoh soal jarak titik ke bidang yang akan diberikan di bawah.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Bidang
Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah …. (SOAL UN MATEMATIKA IPA 2016)
A.     2 cm
B.     2\sqrt{3} cm
C.     3 cm
D.     3\sqrt{3} cm
E.     4\sqrt{3} cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar di bawah.

Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.

BD = diagonal bidang = 6 \sqrt{2} cm
 
Sehingga,

    \[ DH' = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2} \textrm{cm} \]

    \[ DH = 6 \textrm{cm} \]

 
Selanjutnya,

    \[ HH' = \sqrt{\textrm{DH}^{2} + \textrm{DH'}^{2}} \]

    \[ HH' = \sqrt{6^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} \]

    \[ HH' = \sqrt{ 36 + 18} \]

    \[ HH' = \sqrt{54} \]

    \[ HH' = \sqrt{9 \cdot 6} \]

    \[ HH' = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]

    \[ HH' = 3 \sqrt{6}\; \textrm{cm} \]

Untuk langkah selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!

materi jarak pada dimensi tiga
 
Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh

    \[\frac{1}{2} \cdot HH'  \cdot DD' = \frac{1}{2} \cdot DH' \cdot DH \]

    \[HH'  \cdot DD' = DH' \cdot DH \]

    \[ DD' = \frac{DH' \cdot DH}{HH'} \]

    \[ DD' = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 6}{3 \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{18 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{2}}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{12}}{ 6} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{4 \cdot 3}}{ 6} \]

    \[ DD' = \frac{6 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{ 6} \]

    \[ DD' = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \textrm{3} \]

Jadi, jarak D ke bidang ACH adalah 2 \sqrt{3} cm.

Jawaban: B
 
Sekian ulasan materi dimensi tiga, khususnya jarak titik ke bidang. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
 
Baca Juga: Dimensi Tiga: Jarak Garis ke Garis