Dimensi Tiga: Jarak Garis ke Bidang

By | July 5, 2017

Materi yang akan dibahas melalui halaman ini adalah cara mencari jarak titik ke bidang. Uraian materi yang akan diberikan masih termasuk dalam dimensi tiga. Pembahasan materi dimensi tiga juga meliputi pengertian unsur penyusun bangun ruang (dimensi tiga) seperti diagonal sisi, diagonal ruang, bidang diagonal, bidang frontal, dan lain sebagainya.

Selain itu, pembahasan materi dimensi tiga juga meliputi materi jarak pada dimensi tiga. Materi jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang juga akan menjadi pembasan utama saat mempelajari dimensi tiga.

Materi yang disampaikan melalui halaman ini adalah jarak garis ke bidang. Untuk materi lainnya dapat sobat idschool simak pada halaman lainnya (cek daftar materi SMA atau gunakan tombol search untuk mempermudah pencarian). Selanjutnya, simak materi jarak garis ke bidang yang akan diberikan melalui ulasan di bawah.

 

Jarak Garis ke Bidang

Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. Prisip cara mencari jarak garis ke bidang hampir sama dengan mencari jarak garis ke garis. Bedanya, proyeksi pada jarak garis ke garis dilakukan antara garis ke garis, proyeksi garis ke bidang dilakukan antara garis ke bidang. Unruk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

materi jarak pada dimensi tiga

Sekarang, langsung saja simak contoh soal jarak garis ke bidang yang akan diberikan di bawah.

 
Contoh soal dan Pembahasan Jarak Garis ke Bidang
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K, titik L, titik M, dan titik N berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH. Jarak garis KL ke bidang DMN adalah ….
A.     10 cm
B.     8 cm
C.     6 cm
D.     4 cm
E.     3 cm
 
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
materi matematika dimensi tiga
Keterangan:
Garis QR merupakan jarak antara bidang DMN dengan garis KL
DP tegak lurus dengan garis QR (karena QR adalah garis tinggi segitiga DQP)
KB = BL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 cm

 
Perhatikan segitiga KLB!
materi jarak pada dimensi tiga

 
Mencari panjang KL:
Berdasarkan teorema pythagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.

    \[ KL = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}} \]

    \[ KL = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \]

    \[ KL = \sqrt{9 + 9} \]

    \[ KL = \sqrt{18} \]

    \[ KL = \sqrt{9 \cdot 2} \]

    \[ KL = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \]

    \[ KL = 3 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Panjang QL = \frac{1}{2} KL = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm (karena BQ adalah garis tinggi dan garis berat segitiga KLB).

 
Mencari panjang HP:
Berdasarkan teorema pythagoras maka dapat diperoleh persamaan di bawah.

    \[ BQ = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}\]

    \[ BQ = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}\]

    \[ BQ = \sqrt{9 - \frac{9}{4} \cdot 2} \]

    \[ BQ = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{18}{4}} \]

    \[ BQ = \sqrt{\frac{18}{4}}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{4}}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{3 \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Panjang HP = BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm

 
Mencari Panjang DQ:

    \[DQ = DB - BQ \]

    \[DQ = 6 \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  \]

    \[DQ = \frac{12}{2} \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  \]

    \[DQ = \frac{9}{2} \sqrt{2} \]

 
Perhatikan gambar berikut!
jarak garis ke bidang pada materi jarak pada dimensi tiga

 
Mencari panjang PF:
Sebelumnya, cari panjang HF terlebih dahulu, HF = diagonal sisi = 6 \sqrt{2}.

    \[ PF' = HF - FF' - HP \]

    \[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  - \frac{3}{2} \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{6}{2} \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 3 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang PQ:

    \[PQ = \sqrt{\textrm{PF'}^{2} + \textrm{QF'}^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{(3 \sqrt{2})^{2} + 6^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{9 \cdot 2 + 36} \]

    \[PQ = \sqrt{18 + 36} \]

    \[PQ = \sqrt{54} \]

    \[PQ = \sqrt{9 \cdot 6} \]

    \[PQ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]

    \[PQ = 3 \sqrt{6} \]

 
Perhatikan kembali gambar berikut!
contoh soal dan pembahasan dimensi tiga

 
Mencari panjang DP:

    \[ DP = \sqrt{\textrm{HP}^{2} + \textrm{HD}^{2}}\]

    \[ DP = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2} + 6^{2}}\]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{9}{4} \cdot 2  + 36} \]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{18}{4} + \frac{144}{4}} \]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{162}{4}} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{4}} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{81 \cdot 2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{9}{2} \sqrt{2} \textrm{ cm}\]

 
Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
mencari jarak garis ke bidang pada dimensi tiga

 
Mencari panjang DO:

    \[\textrm{DO} = \sqrt{\textrm{DQ}^{2} - \textrm{QO}^{2}} \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{ \left( \frac{9}{2} \sqrt{2} \right)^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{6} \right)^{2}} \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{81}{4} \cdot 2 -  \frac{9}{4} \cdot 6 } \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{162}{4} -  \frac{54}{4} } \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{108}{4} } \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{4}} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36 \cdot 3}}{2} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}}{2} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{6 \sqrt{3} }{2} \]

    \[\textrm{DO} = 3 \sqrt{3} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang QR
Berdasarkan luas segitiga akan diperoleh hasil dari QR seperti terlihata pada cara berikut.

    \[ \frac{1}{2} \cdot PD \cdot QR = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot DO \]

    \[ PD \cdot QR = PQ \cdot DO  \]

    \[ QR  = \frac{PQ \cdot DO}{PD} \]

    \[ QR  = \frac{3 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{3} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \sqrt{18} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \sqrt{9 \cdot 2} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{27 \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{27}{\frac{9}{2}} \]

    \[ QR  = 27 \cdot {\frac{2}{9}} \]

    \[ QR  = \frac{54}{9} = 6 \textrm{cm} \]

 
Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah QR = 6 cm.
Jawaban: C

Sekian pembasan materi dimensi tiga yaitu jarak garis ke bidang. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

 
Baca Juga: Dimensi Tiga: Jarak Bidang Ke Bidang