Persamaan Logaritma

By | May 18, 2017

Soal-soal dalam persamaan logaritma memiliki berbagai bentuk soal. Bagaimanapun variasi soal yang diberikan, dapat diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan sifat-sifat persamaan logaritma berikut ini.

    \[^{a}\textrm{log }c = b \leftrightarrow a^{b}=c\]

    \[^{a}\textrm{log }a = 1\]

    \[^{a}\textrm{log }xy = ^{a}\textrm{log }x + ^{a}\textrm{log }y \]

    \[^{a}\textrm{log }\frac{x}{y} = ^{a}\textrm{log }x - ^{a}\textrm{log }y \]

    \[^{a}\textrm{log } x^{p} = p \cdot ^{a}\textrm{log }x \]

    \[^{a}\textrm{log } b = \frac{^{c}\textrm{log }b}{^{c}\textrm{log }a} \]

    \[a^{^{a}\textrm{log } b} = b \]

    \[a^{c}\textrm{log }b^{d} = ^{a}\textrm{log }b^{\frac{d}{c}}=\frac{d}{c}\cdot \textrm{log }b \]

    \[^{a} \textrm{log }b \cdot ^{b} \textrm{log }c \cdot ^{c}\textrm{log }d= ^{a}\textrm{log }d \]

 
Sifat Persamaan Logaritma

    \[^{a}\textrm{log }f(x)=^{a}\textrm{log }g(x) \leftrightarrow f(x) = g(x)\]

    \[^{f(x)}\textrm{log }g(x)=^{f(x)}\textrm{log }h(x) \leftrightarrow g(x) = h(x)\]

dengan syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x)>0.

 
 
Variasi soal logaritma dapat dilihat pada pembahasan berikut.
 
Jenis 1

    \[^{a}\textrm{log f(x) = }^{a}\textrm{log b maka f(x) = b, dengan f(x)} > 0\]

Contoh soal dan pembahasan:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = 1}\]

Jawab:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }^{3}\textrm{log 3}\]

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x }-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x}^{2}\textrm{( + 2x }-\textrm{ 3x)}-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x(x+1)}-\textrm{3(x + 1) = 0}\]

    \[\textrm{(2x}-\textrm{3)(x + 1) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi yaitu

    \[\textrm{2x}-\textrm{3 = 0} \rightarrow \textrm{x = }\frac{3}{2}\textrm{ dan x + 1= 0}\rightarrow \textrm{x = }-\textrm{1}\]

 
Jenis 2

^{a}\textrm{log f(x) = }^{b}\textrm{log f(x)} maka f(x) = 1, dengan a \neq b

Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi ^{2}\textrm{log 2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7 = }^{3}\textrm{log 2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7}

Jawab:

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7 = }\textrm{1}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{8 = }\textrm{0}\]

    \[\textrm{2x}^{2}\textrm{+ 2x}-\textrm{8x}-\textrm{8 = 0}\]

    \[\textrm{2x(x + 2)}-\textrm{4(x + 2) = 0}\]

    \[\textrm{(2x}-\textrm{4)(x + 2) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan logaritma pada soal adalah

    \[\textrm{(2x}-\textrm{4) = 0} \rightarrow \textrm{2x = 4, x = 2}\]

    \[\textrm{(x + 2) = 0}\rightarrow \textrm{x = }-\textrm{2}\]

 
Jenis 3


^{a}\textrm{log f(x) = }^{a}\textrm{log g(x)} maka, f(x) = g(x) dengan f(x)>0 dan g(x)>0
 

Contoh soal dan pembahasan:

    \[\textrm{Tentukan nilai x yang memenuhi }^{5}\textrm{log 2x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{10 = }^{5}\textrm{log x}^{2}-\textrm{2x + 18}\]

Jawab:

    \[\textrm{2x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{10 = }\textrm{x}^{2}+\textrm{2x + 18}\]

    \[ \textrm{2x}^{2}-\textrm{x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{2x}-\textrm{10}-\textrm{18 = 0} \]

    \[\textrm{x}^{2}\textrm{ + 3x}-\textrm{28 = 0}\]

    \[\textrm{(x}-\textrm{4)(x + 7) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[\textrm{(x}-\textrm{4) = 0}\rightarrow \textrm{x = 4}\]

    \[\textrm{(x + 7) = 0}\rightarrow\textrm{x = }-\textrm{7}\]

 
Jenis 4

Jika ^{f(x)}\textrm{log g(x) = }^{f(x)}\textrm{log h(x)} maka g(x)=h(x)

dengan f(x)>1, g(x)>0, dan h(x)>0}

Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi ^{\textrm{x}^{2}- 1} \textrm{log 2x}^{2} - \textrm{2x + 20 = } ^{x^{2}-1}\textrm{log x}^{2} \textrm{ + 6x + 5}

Jawab:

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{2x + 20 = x}^{2}\textrm{ + 6x + 5}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{x}^{2}-\textrm{2x}-\textrm{6x + 20}-\textrm{5 = 0}\]

    \[\textrm{x}^{2}-\textrm{8x + 15 = 0}\]

    \[\textrm{(x}-\textrm{3)(x}-\textrm{5) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[\textrm{(x}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{x=3}\]

    \[\textrm{(x}-\textrm{5) = 0}\rightarrow\textrm{x = 5}\]

 
Jenis 5

Persamaan kuadrat yang dapat diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat maka penyelesaiannya dapat dicari dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat kemudian menyelesaikan persamaan kuadratnya.

Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut!

    \[^{3}\textrm{log}^{2}\textrm{x}-\textrm{7.log x + 12 = 0}\]

Jawab:
Misalkan: p = 3log x
Sehingga diperoleh

    \[\textrm{p}^{2}-\textrm{7p + 12 = 0}\]

    \[\textrm{(p}-\textrm{4)(p}-\textrm{3) = 0}\]

sehingga diperoleh nilai p

    \[\textrm{(p}-\textrm{4) = 0}\rightarrow\textrm{p = 4}\]

    \[\textrm{(p}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{p = 3}\]

Substitusi nilai p = 3log 3x, sehingga akan diperoleh nilai x.

    \[^{3}\textrm{log x = 4}\rightarrow\textrm{x = 3}^{4}\textrm{= 81}\]

    \[^{3}\textrm{log x = 3}\rightarrow\textrm{x = 3}^{3}\textrm{= 27}\]

Semoga bisa membantu memahami materi persamaan logaritma, silahkan tinggalkan komentar di bawah jika ada pertanyaan.

Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!