Pesamaan Lingkaran

By | July 13, 2017

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu O. Titik O merupakan pusat lingkaran dan jarak setiap himpunan titik-titik ke titik O disebut jari-jari lingkaran.

Saat Sekolah Dasar, sobat idSCHOOL mempelajari cara mencari rumus luas lingkaran.

Kemudian di Sekolah Menengah Pertama, materi yang diberikan mengenai luas juring, panjang busur, dan lain sebagainya.

Materi persamaan lingkaran akan dipelajari di SMA Kelas XI khususnya untuk peminatan IPA.
 


 
Lingkaran dapat dinyatakan dalam beberapa persamaan bergantung letak titik pusat dan panjang jari-jari. Lebih lanjut akan dibahas pada materi di bawah.

 

Persamaan Lingkaran Pusat O (0, 0) dan berjari-jari r

    \[ \textrm{x}^{2} + \textrm{y}^{2} = \textrm{r}^{2} \]

 

Persamaan Lingkaran Pusat (a, b) dan berjari-jari r

    \[ \textrm{(x}- \textrm{a)}^{2} +\textrm{(y}- \textrm{b)}^{2} = \textrm{r}^{2} \]

 

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Rumus umum persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk berikut.

    \[ \textrm{x}^{2} + \textrm{y}^{2} + \textrm{Ax} + \textrm{By} + C = 0 \]

    \[ \textrm{dengan, }\]

    \[ \textrm{Pusat Lingkaran: } \left( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right) \]

    \[\textrm{Jari-jari: r = } \sqrt{\left( - \frac{1}{2}A \right)^{2} + \left( - \frac{1}{2}B \right)^{2} - \textrm{C}} \]

 
TRIKK!!
Jika diketahui pusat lingkaran adalah (x_{1}, y_{1}) dan garis singgung Ax + By + C = 0, maka jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik ke garis, yaitu

    \[ \textrm{d = } \frac{\textrm{Ax}_{1} + \textrm{By}_{1}+C}{\sqrt{\textrm{A}^{2} + \textrm{B}^{2}}} \]

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1, 2) dan menyinggung garis adalah ….

    \[  \textrm{A.   } x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 27 = 0 \]

    \[  \textrm{B.   } x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 27 = 0 \]

    \[  \textrm{C.   } x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 32 = 0 \]

    \[  \textrm{D.   } x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 32 = 0 \]

    \[  \textrm{E.   } x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 7 = 0 \]

SOAL UN MATEMATIKA IPA 2016

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

Jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik pusat (-1, 2) ke garis x + y + 7 = 0 melalui rumus berikut.

    \[ \textrm{r = }  \left| \frac{1(-1) + 1(2) + 7}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} \right| \]

    \[ \textrm{r = } \left| \frac{-1 + 2 + 7}{\sqrt{1 + 1}} \right| = \frac{8}{\sqrt{2}} \]

Sehingga, persamaan lingkarannya menjadi

    \[(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = \left( \frac{8}{\sqrt{2}} \right)^{2} \]

    \[x^{2} +2x + 1 +y^{2} - 4y + 4 = 32 \]

    \[x^{2} + y^{2} + 2x -4y - 27 = 0 \]

Jawaban: B

Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!