Rumus Integral

By | May 18, 2017

Pembahasan mengenai integral akan menjadi pembahasan yang cukup panjang. Namun, sebelum masuk dalam pembahasan rumus integral, idschool akan menjelaskan sedikit kegunaan integral. Sobat idschool pasti dapat mencari luas sebuah persegi dengan mudah bukan? Sudah pasti bisa, karena sobat idschool hanya perlu menghitung luasnya dengan rumus yang sudah tersedia.

rumus persegi panjang

Tetapi bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan sehingga tidak ada rumus baku untuk menghitungnya? Bagaimana cara mengetahui luas daerah nya?

Perhatikan ilustrasi derah tidak beraturan pada gambar di bawah.

rumus integral untuk menghitung bangun tidak beraturan

Kita tidak akan membahas menghitung luas bangun di atas. Hanya saja, bangun tidak beraturan di atas dapat dijadikan sebuah contoh bangun tidak beraturan. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang tidak beraturan adalah menggunakan integral. Luas daerah yang tidak beraturan didekati dengan sebuah kurva kemudian dihitung luasnya menggunakan integral.

Selain menghitung luas, integral juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda yang dibatasi kurva. Uraian lebih lanjut simak pada halaman yang membahas aplikasi integral untuk menghitung volume benda putar.

Sebelum belajar lebih jauh tentang teknik integral yang dapat digunakan untuk mencari volume benda putar, sebaiknya pahami dahulu dasar perhitungan interal yang akan dibahas berikut.

Integral adalah fungsi kebalikan dari fungsi turunan sehingga sering disebut dengan anti turunan. Secara umum dinyatakan melalui persamaan di bawah.

rumus integral

Aturan dasar menemukan nilai suatu integral ditunjukkan seperti persamaan di atas. Contoh sederhana menghitung integral ditunjukkan seperti contoh di bawah.

Contoh 1 penggunaan rumus integral

    \[ \int{2x} \; dx = \frac{2}{1+1} x^{1 + 1} + C \]

    \[ =  \frac{2}{2} x^{2} + C \]

    \[ =  x^{2} + C \]

Contoh 2 penggunaan rumus integral

    \[ \int{x^{2} + 2x + 1} \; dx \]

    \[ = \frac{1}{2+1} x^{2 + 1} + \frac{2}{1+1} x^{1 + 1} + \frac{1}{0+1} x^{0 + 1} + C \]

    \[ = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + \frac{1}{1} x^{1} + C \]

    \[ =  \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x + C \]

Tentunya, soal integral yang akan sobat idschool temui di sekolah tidak semudah dua contoh soal penggunaan rumus integral yang diberikan di atas. Untuk itu, sobat idschool perlu mempelajari metode mencari nilai integral yang tepat.

 

Rumus umum Integral

Selain rumus integral dasar yang diberikan di atas, terdapat rumus integral umum yang dapat digunakan untuk mempermudah pengerjaan soal integral. Berikut ini adalah rumus umum integral tersebut.

    \[\int \textrm{k dx}=\textrm{k}\cdot\textrm{x + C}\]

    \[\int \textrm{x}^r\textrm{ dx}=\frac{\textrm{1}}{\textrm{r + 1}} \cdot \textrm{x + C,}\; r \neq -\textrm{1}\]

    \[\int \textrm{p}\cdot\textrm{x}^r\textrm{ dx}=\frac{\textrm{p}}{\textrm{r + 1}} \cdot \textrm{x + C,}\; r \neq -\textrm{1}\]

    \[\int \textrm{px + q}^{r}\textrm{ dx}=\frac{1}{p(r + 1)}\textrm{(px + q)}^{r+1}\textrm{ + C}\]

    \[\int \textrm{k} \cdot \textrm{f(x) dx} = \textrm{k} \int \textrm{f(x) + C}\]

    \[\int \textrm{f(x) + g(x) dx}=\int\textrm{f(x) dx} + \int\textrm{g(x) dx}\]

    \[\int \textrm{f(x)}-\int\textrm{g(x) dx}=\int\textrm{f(x) dx} - \int\textrm{g(x) dx}\]

Bentuk integral terbagi menjadi dua jenis yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Pada integral tak tentu, nilai integral tidak dibatasi oleh nilai tertentu. Sedangkan pada integral tentu, terdapat nilai yang membatasi nilai integralnya.

 
Integral Tak Tentu

Integral tentu merupakan integral tanpa batas yang telah ditentukan. Bentuk umum integral tak tentu dinyatakan dalam bentuk berikut.

    \[\int f(x) \; dx =  F(x) + C \]

 
Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral dengan batas yang telah ditentukan. Bentuk umum integral tentu dinyatakan dalam bentuk berikut.

    \[\int_{a}^{b}f(x)\;dx = \left[ F(x) \right] _{a}^{b} = F(b)-F(a)  \]

Integral tentu memiliki sifat-sifat yang dapat digunakan untuk mempermudah proses perhitungan integral. Simak sifat-sifat integral tentu pada daftar di bawah.

 
Sifat-Sifat Integral Tentu:

    \[\int_{a}^{a}f(x) \; dx = \left[ F(x) \right] _{a}^{a} = F(a)-F(a) = 0 \]

    \[\int_{a}^{b}f(x)\;dx=-\int_{b}^{a}f(x)\;dx\]

    \[\int_{a}^{b}k \cdot f(x) \; dx = k \int_{a}^{b}f(x)\; dx \; \textrm{,} k \in R \]

    \[\int_{a}^{b}\left (f(x) + g(x) \right )\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx + \int_{a}^{b}g(x)\;dx\]

    \[\int_{a}^{b}\left (f(x) - g(x) \right )\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx - \int_{a}^{b}g(x)\;dx\]

    \[\int_{a}^{c}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx + \int_{b}^{c}f(x)\;dx\textrm{,}a< b<  c \]

    \[\int_{a+p}^{b+p}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx\]

 

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1 Soal Integral

Carilah hasil dari \int x^{3}\sqrt{x^{4}+11}\;dx!

Jawab:
Misalkan: u = x^{4}+11
maka \textrm{du = 4}x^{3}\textrm{dx}\rightarrow{dx = }\frac{\textrm{du}}{4x^{3}}
Sehingga akan diperoleh,

    \[\int x^{3} \sqrt{x^{4}+11}\;dx=\int x^{3} \sqrt{u}\;\frac{\textrm{du}}{4x^{3}}\]

    \[=\int\sqrt{u}\frac{\textrm{ du}}{4}\]

    \[=\frac{1}{4}\int\sqrt{u}\textrm{ du}\]

    \[=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\textrm{ + C}\]

    \[=\frac{1}{6}\left(x^{4}+11\right)^{\frac{3}{2}}\textrm{ + C}\]

 
Contoh 2 Soal Integral

Carilah hasil dari

    \[ \int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+6)^{2}}\;dx \; \]

Jawab:
Misalkan: u = x^{2} + 2x + 6

maka

    \[ \textrm{du = 2x + 2} \textrm{dx} \]

atau

    \[ \textrm{dx = } \frac{\textrm{du}}{\textrm{2x + 2}} \rightarrow {dx = } \frac{\textrm{du}}{\textrm{2(x + 1)}} \]

Sehingga akan diperoleh,

    \[\int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+6)^{2}}\;dx\;=\;\int\frac{x + 1}{u^{2}}\;\frac{du}{2(x+1)}\]

    \[=\int\frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{2}\]

    \[=\frac{1}{2}\cdot\int u^{-1}\; du\]

    \[=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-2+1}u^{-2+1}\;+ C\]

    \[=\frac{1}{2}\cdot -u^{-1} + C\]

    \[=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{u} + C\]

    \[=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+6} + C\]

Sekian pembahasan mengenai rumus integral yang meliputi integral tentu, integral tak tentu, dan sifat-sifat integral. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Pengantar Turunan