Pengertian Turunan/Diferensial

By | May 15, 2017

Pengantar

Awal mula ilmu turunan muncul dalam permasalahan garis singgung oleh ilmuwan besar Yunani, Archimedes (287 s.d. 212 SM). Permasalahan kemudian berkembang ke arah benda bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat. Euclid mengungkapkan gagasannya tentang garis singgung yang menyentuh kurva pada satu titik, gagasan tersebut berfungsi untuk persamaan lingkaran tetapi tidak berfungsi pada beberapa kurva. Uraian terbaik mengenai turunan digambarkan melalui konsep limit.

Perhatikan gambar di bawah!

 

Sebuah kurva y=f(x) memuat dua titik P dan Q dengan koorinat masing-masing adalah P(c, f(c)) dan Q(c+h,\;f(c+h)). Kemiringan garis PQ dapat ditentukan melalui persamaan tan. Sehingga diperoleh definisi turunan yang diberikan seperti definisi di bawah.
 
Definisi Turunan

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.
Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai

    \[f'(x)\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{f(x+h)}-\textrm{f(x)}}{h}\]

asalkan nilai limitnya ada

Contoh penggunaan definisi di atas untuk mencari nilai turunan:
Tentukan turunan pertama dari persamaan f(x) = 13x + 8, menggunakan definisi turunan!

Penyelesaian:

    \[f'(x)\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{f(x+h)}-\textrm{f(x)}}{h}\]

    \[\;\;\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13(x+h)+8}-\textrm{13x+8}}{h}\]

    \[\;\;\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13x + 13h + 8}-\textrm{13x + 8}}{h}\]

    \[\;\;\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{13h}}{h}\]

    \[\;\;\;= \lim_{h\rightarrow 0}\textrm{13 = 13}\]

Penggunaan definisi untuk menentukakn turunan dari sebuah persamaan dirasa tidak praktis, sehingga diperlukan aturan-aturan (teorema-teorema) di bawah untuk memudahkan dalam menentukan turunan suatu persamaan.

 
Teorema 1

Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0:

    \[\frac{d}{dx}k\;=0\]

Bukti:

    \[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{k-k}{h}\]

    \[= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h}\; \]

    \[= \lim_{h\rightarrow 0} \; 0 \; = \; 0 \]

Contoh Penggunaan Teorema 1:

Turunan pertama dari fungsi y = 7 adalah …

Pembahasan:
Tujuh (7) merupakan konstanta sehingga turunannya adalah 0.

 
Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x)= x maka f'(x)=1, atau dinotasikan melalui persamaan berikut.

    \[\frac{d}{dx}x\;=1\]

Bukti:

    \[f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x+h-x}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{h}\; \]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \; 1 \; = \; 1 \]

 
Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Jika f(x)=x^{n} maka f'(x)\;=\;n \cdot x^{n-1}, dengan n merupakan bilangan bulat positif.

    \[\frac{d}{dx}x^{n}\;=\; nx^{n-1}\]

Bukti:

    \[f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{n}+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+...+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right]\]

    \[= nx^{n-1}\]

Contoh Penggunaan Teorema 3:

Turunan pertama dari fungsi y=x^{9} adalah …

Pembahasan:
Penggunaan teorema 3 untuk mencari persamaan y=x^{9} maka turunan pertamanya adalah

    \[\frac{d}{dx}x^{9}=9 \cdot x^{9-1}= 9x^{8}\]

 

Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x)=k \cdot f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

    \[\frac{d}{dx} \left[ k \cdot f(x) \right] \; = k \cdot \frac{d}{dx}f(x) \]

Bukti:
Andaikan F(x)\;=\;k \cdot f(x) maka

    \[F'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{k \cdot f(x+h)-k \cdot f(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} k \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} k \cdot f'(x)\]

Contoh Penggunaan Teorema 4:

Tentukan turunan pertama dari f(x)=-5x^{4}!

Pembahasan:
Berdasarkan teorema 4 maka akan diperoleh hasil

    \[f'(x)=\frac{d}{dx}-5x^{4}\]

    \[f'(x)= -5 \frac{d}{dx}x^{4}\]

    \[f'(x)= -5 (4x^{3})\]

    \[f'(x)= -20x^{3}\]

 

Teorema 5 (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f+g)'(x)=f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

    \[\frac{d}{dx} \left[ f(x) + g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx}g(x) \]

Bukti:
Andaikan F(x)\;=\; f(x) + g(x) maka

    \[F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)+g(x+h)\right]-\left[ f(x) + g(x)\right]}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right]\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\]

    \[= f'(x) + g'(x)\]

 

Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f+g)'(x)=f'(x) - g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

    \[\frac{d}{dx} \left[ f(x) - g(x) \right] \; = \frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}g(x) \]

Bukti:
Andaikan F(x)\;=\; f(x) - g(x) maka

    \[F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[f(x+h)-g(x+h)\right]-\left[ f(x) - g(x)\right]}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right]\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \rightarrow 0}(-1)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\]

    \[= f'(x) - g'(x)\]

 

Teorema 7 (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f \cdot g)'(x)=f(x)g'(x) + g(x)f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

    \[\frac{d}{dx} \left[ f(x)g(x) \right] \; = f(x)\frac{d}{dx}g(x) + g(x)\frac{d}{dx}f(x) \]

 
TRIK mengingat!!!

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka

    \[\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = uv' + vu' \]

Bukti:
Andaikan F(x)\;=\; f(x)g(x) maka

    \[F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h)- f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left[f(x+h) \cdot \frac{g(x+h)- g(x)}{h} + g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right] \]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left[f(x+h) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)- g(x)}{h} + g(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right] \]

    \[=f(x)\frac{d}{dx}g(x) + g(x)\frac{d}{dx}f(x)\]

    \[=f(x)g'(x) + g(x)f'(x)\]

Contoh Penggunaan Teorema 7

SOAL UN SMA MAMTEMATIKA IPA 2016
Jika diketahui f(x) = (3x^2-2)(5x-4), maka f'(x) = ….
A. 45x^2-24x-10
B. -45x^2-24x-10
C. 45x^2+24x-10
D. 45x^2-24x+10
E. -45x^2-24x+10

Pembahasan:
Hasil turunan f(x) dari persamaan di atas dapat diselesaikan menggunakan rumus

    \[f(x) = u \cdot v \rightarrow f'(x) = u'v + uv'\]

Misal:

    \[u = 3x^2-2 \rightarrow u'=\frac{du}{dx}=6x\]

    \[v = 5x-4 \rightarrow v'=\frac{dv}{dx}=5\]

    \[f'(x) = 6x(5x-4) + 5(3x^2-2)\]

    \[=30x^2-24x+15x^2-10\]

    \[=45x^2-24x-10\]

Jawaban: A

 
Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) \neq 0 maka

    \[\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}\]

 
TRIK mengingat!!!

misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka

    \[\left(\frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{vu' - uv'}{v^{2}} \]

Bukti:
Andaikan F(x)\;=\; \frac{f(x)}{g(x)} maka

    \[F'(x) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}}{h}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x)f(x+h)- f(x)g(x+h)}{h} \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)}\]

    \[= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \left[g(x)\frac{f(x+h)- f(x)}{h} - f(x) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right]  \cdot \frac{1}{g(x)g(x+h)} \right) \]

    \[=\left[g(x)f'(x) - f(x)g'(x)\right] \cdot \frac{1}{g(x)g(x)}\]

    \[=\frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}\]

    \[=\frac{vu'- uv'(x)}{v^{2}(x)}\]

Contoh Penggunaan Teorema 8

Tentukan turunan pertama dari persamaan f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5} !

Pembahasan:
Untuk mencari turunan pertama f(x) = \frac{2x - 3}{x^{3} + 5} dapat langsung menggunakan Teorema 8 yang telah dibuktikan di atas

    \[f'(x)=\frac{vu'- uv'(x)}{v^{2}(x)}\]

Misal:

    \[u = 2x-3 \rightarrow u'=\frac{d}{dx}(2x-3)=2 \]

    \[v = x^{3}+5 \rightarrow v'=\frac{d}{dx}(x^{3}+5)=3x^{2} \]

    \[f'(x) = \frac{(x^{3}+5)(2) + (2x-3)(3x^{2})}{(x^{3}+5)^{2}}\]

    \[f'(x) = \frac{2x^{3}+10 + 6x^{3}-9x^{2}}{x^{6} +4x^{3} +10}\]

    \[f'(x) = \frac{8x^{3} - 9x^{2} + 10}{x^{6} + 4x^{3} + 10} \]

 
Untuk selanjutnya, sobat idSCHOOL hanya perlu menggunakan kedelapan teorema di atas untuk menyelesaikan berbagai tipe soal tentang turunan. Selamat Belajar! Salam Prestasi!