Materi Vektor Matematika SMA

By | November 18, 2017

Materi Vektor SMA yang termuat dalam kurikulum sekolah menengah atas meliputi notasi vektor, panjang vektor, operasi hitung antar dua vektor, sudut antara dua vektor, dan proyeksi vektor. Sebelum membahas lebih jauh mengenai vektor, mari kita pelajari dasar materi vektor matematika SMA terlebih dahulu. Vektor merupakan salah satu jenis besaran dari dua jenis besaran yang ada dalam ilmu Matematika dan Fisika. Dua besaran tersebut adalah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalara adalah jenis besaran yang hanya memiliki besar (nilai), contohnya waktu, suhu, volume, dsb. Sedangkan besaran vektor merupakan jenis besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah, contohnya kecepatan, momentum, gaya, dsb. Selanjutnya, mari kita simak pembahasan mengenai dasar materi vektor matematika SMA.

Vektor digambarkan sebagai ruas garis yang memiliki besar dan arah. Vektor di ruang dimensi dua (R^{2}) didefinisikan sebagai pasangan berurutan dua buah bilangan real \left( x, y \right) atau bentuk bersusun seperti \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Sedangkan pada ruang dimensi tiga (R^{3}) dinyatakan dalam sebuah urutan bilangan real \left( x, y, z \right) atau bentuk \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. Untuk vektor di ruang dimensi yang lebih tinggi bentuknya akan mengikuti, seperti pada ruang dimensi 4 yang dinyatakan dalam urutan empat bilangan real. Vektor disimbolkan melalui huruf kecil yang diberi tanda anak panah di atasnya. Selain itu vektor juga dapat disimbolkan dengan huruf kecil yang dicetak tebal atau huruf kecil dengan ruas garis di atasnya.

Materi Vektor Matematika SMA

Titik A disebut titik pangkal (titik tangkap atau titik asal) dan titik B disebut titik ujung (terminal) dari vektor \vec{a}. Panjang vektor \vec{a} adalah panjang ruas garis AB yang dinyatakan dalam simbol di bawah.

    \[  \left | \vec{a} \right | = \left | \vec{AB} \right |\]

 
 

Vektor pada Ruang Dimensi Dua (R^{2})

Materi vektor matematika sma yang akan dibahas pertama adalah vektor di ruang dimensi dua. Ruang dimensi dua merupakan bidang datar yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu x dan sumbu y. Jadi, vektor yang berada pada ruang dimensi dua memiliki dua faktor penentu arah, yaitu sumbu x dan sumbu y. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi dua berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk absis (sumbu-x) dan urutan kedua merupakan arah untuk ordinat (sumbu-y).

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu x positif:

    \[ \hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu y positif:

    \[ \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan gambar di bawah!
 

Penjumlahan Dua Vektor di Ruang Dimensi Dua

 
Keterangan:

    \[ \vec{a} = \left( x_{1}, y_{1} \right) \]

    \[ \vec{b} = \left( x_{2}, y_{2} \right) \]

    \[ \vec{c} = \left( x_{2} - x_{2}, y_{2} - y_{1} \right) \]

Sebuah vektor dapat ditentukan panjangnya berdasarkan keterangan pada arah vektor. Jika sebuah vektor disimbolkan dengan \vec{a} maka panjang vektor dinotasikan dengan \left| \vec{a} \right|. Rumus panjang \vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c} adalah sebagai berikut.

Rumus Panjang Vektor

 
 

Vektor di Ruang Dimensi 3

Pembahasan selanjutnya adalah vektor di Ruang Dimensi 3. Arah vektor pada ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga faktor penentu arah, yaitu sumbu-x, sumbu y, dan sumbu-z. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi tiga berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk sumbu-x, urutan ke dua untuk arah untuk sumbu-y, dan urutan ke tiga untuk arah sumbu-z.

Vektor-vektor satuan pada sumbu x positif, y positif, dan z positif berturut-turut dapat dilihat seperti persamaan di bawah.

    \[ \hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

    \[ \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

    \[ \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

 
Selanjutnya, perhatikan gambar vektor pada ruang dimensi tiga di bawah!
 
Vektor di Ruang Dimensi Tiga
 
Vektor pada ruang dimensi tiga juga dapat diketahui panjangnya melalui koordinat arah pada simbol vektor. Jika P(x, y, z) adalah sembarang titik di ruang dimensi tiga, maka panjang vektor tersebut dapat dihitung melalui rumus berikut.
 
Rumus Panjang Vektor di Ruang Dimensi Tiga
 
Baca Juga: Penjumlahan dan Pengaturan Vektor Serta Sifat-sifatnya
 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Perhitungan Vektor pada Ruang Dimensi Tiga
Perhatikan gambar balok berikut!
 

 
Balok ABCO-DEFG memiliki ukuran \left| \vec{OA} \right| = 4, \left| \vec{AB} \right| = 6, dan \left| \vec{OG} \right| = 10. Nilai cosinus sudut antara \vec{OA} dan \vec{AC} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; - \frac{8}{3} \sqrt{13} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; - \frac{3}{2} \sqrt{13} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; - \frac{8}{13} \sqrt{13} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{8}{\sqrt{13}} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{13}{\sqrt{13}} \]

Pembahasan:
Berdasarkan gambar dan keterangan pada soal dapat diperoleh informasi letak koordinat O(0, 0, 0), A (4, 0, 0), B(4, 6, 0), C(0, 6, 0), D(4, 0, 10), E(4, 6, 10), F(0, 6, 10), dan G(0, 0, 10).
Perhatikan letak sudut \alpha pada gambar di bawah.
 

 
Sebelumnya akan ditentukan \vec{OA}, \vec{AC}, dan panjang \left| AC\right| terlebih dahulu.

    \[ \vec{OA}  = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0) \]

    \[ \vec{AC}  = (0, 6, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 6, 0) \]

    \[ \left| AC \right| = \sqrt{(-4)^{2} + 6^{2} + 0^{2}}  \]

    \[ \left| AC \right| = \sqrt{16 + 36 + 0}  \]

    \[ \left| AC \right| = \sqrt{52}  \]

    \[ \left| AC \right| = \sqrt{4 \times 13}  \]

    \[ \left| AC \right| = 2 \sqrt{13}  \]

 
Selanjutnya, akan ditentukan nilai cosinus antara \vec{OA} dan \vec{AC}.

    \[ cos \; \alpha = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{AC}}{\left| AC\right| } \]

    \[ cos \; \alpha = \frac{(4, 0, 0)(-4, 6, 0)}{\sqrt{39}} \]

    \[ cos \; \alpha = \frac{ -16 + 0 + 0 }{2 \sqrt{13}} \]

    \[ cos \; \alpha = \frac{ -16 }{2 \sqrt{13}} \]

    \[ cos \; \alpha = -\frac{8}{\sqrt{13}} \]

    \[ cos \; \alpha = -\frac{8}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = -\frac{8 \sqrt{13} }{13} \]

Jawaban: C
 
Baca Juga: Perbandingan Vektor pada Sebuah Ruas Garis