Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

By | March 9, 2018

Salah satu pembahasan pada materi trigonometri adalah menyelesaikan persamaan trigonometri. Biasanya, soal yang diberikan pada persamaan trigonometri adalah untuk menentukan himpunan penyelesaian yang terdiri atas sudut-sudut yang memenuhi persamaan trigonometri. Sebagaimana yang sobat idschool ketahui bahwa bentuk grafik fungsi trigonometri bersifat periodik. Bentuknya akan berulang sama pada rentang tertentu. Sehingga, nilai fungsi trigonometri dari sebuah persamaan tidak hanya memiliki nilai tunggal.

Misalkan pada fungsi Sin x = ½, nilai x yang memenuhi tidak hanya 30o sebagaimana yang diketahui bahwa nilai Sin 30o = ½. Selain besar sudut 30o yang dapat memenuhi persamaan Sin x = ½, ada nilai lain yang dapat memenuhi persamaan tersebut. Salah satu nilai, selain x = 30o, yang dapat memenuhi persamaan Sin x = ½ adalah x = 150o.

Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri dan menentukan semua himpunan penyelesaian yang memenuhi syarat yang diberikan pada soal.

Secara ringkas, persamaan trigonometri untuk menentukan besar semua sudut yang memenuhi dapat dilihat melalui tabel di bawah.

menyelesaikan persamaan trigonometri

Simak penjelasan lebih lanjutnya pada uraian materi persamaan trigonometri yang akan dibahas di bawah. Pembahasan pertama yang akan diberikan adalah menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus.

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus

Grafik fungsi sinus bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Oleh sebab itu, nilai fungsi sinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi sinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Sin 45o yang sama nilainya dengan nilai fungsi Sin 135o, yaitu ½√2. Kondisi ini dikarenakan nilai sinus dalam satu periode memiliki nilai periodik. Fungsi sinus dasar dimulai dari 0 (nol) dan kembali ke 0 (nol). Nilai tertinggi fungsi y = Sin x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah –1.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi sinus diberikan seperti persamaan di bawah.

persamaan trigonometri sinus

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus.

Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 Sin (2x – 60o) – √3 = 0, 0 ≤ x ≤ 360o

Pembahasan:

Menyelesaikan persamaan:

2 Sin (2x – 60o) – √3 = 0
2 Sin (2x – 60o) = √3
Sin ( 2x – 60o) = ½√3

Berdasarkan hasil persamaan akhir yang diperoleh di atas, maka dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya.

2x – 60o = 60o + k ⋅ 360o
2x = 60o + 60o + k ⋅ 360o
2x = 120o + k ⋅ 360o
x = 60o + k⋅180o

Dan

2x – 60o = (180o – 60o) + k ⋅ 360o
2x – 60o = 120 + k ⋅ 360o
2x = 120o + 60o + k ⋅ 360o
2x = 180o + k ⋅ 360o
x = 90o + k ⋅ 180o

Diperoleh dua persamaan akhir yaitu x = 60o + k⋅180 atau x = 90o + k ⋅ 180o.

Selanjutnya, akan diselidiki pada beberapa nilai k untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya.

Untuk k = 0:

x = 60o + k ⋅ 180o → x = 60o
x = 90o + k ⋅ 180o → x = 90o

Untuk k = 1

x = 60o + k⋅180o → x = 240o
x = 90o + k⋅180o → x = 270o

Untuk nilai k = 2 dan lebih akan menghasilkan nilai x yang lebih dari 240o, sehingga perhitungan dicukupkan sampai nilia k = 1. Jadi, himpunan penyelesaian yang diperoleh adalah {60o, 90o, 240o, 270o}.

Baca Juga: Limit Fungsi Trigonometri

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Pembahasan berikutnya adalah menyelesaikan masalah persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus.

Grafik fungsi cosinus juga bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Bedanya terletak pada awal mulainya. Pada satu periode pada fungsi sinus dasar y = Sin x dimulai dari 0 (nol) dan kembali ke 0 (nol). Sedangkan pada satu periode fungsi cosinus dasar y = Cos x dimulai dari 1 (satu) dan kembali ke 1 (satu). Nilai tertinggi fungsi y = Cos \; x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah –1.

Nilai fungsi cosinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi cosinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Cos 60o yang sama nilainya dengan nilai fungsi Cos 300o, yaitu ½.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 Cos x – √3 = 0, 0 ≤ x ≤ 360o.

Pembahasan:

Menyelesaikan persamaan:

2 Cos x – √3 = 0
2 Cos x = √3
Cos x = ½√3
Cos x = Cos 30o

Berdasarkan rumus umum persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diperoleh dua persamaan berikut.

x1 = 30o + k ⋅ 360o
x2 = 150o + k ⋅ 360o

Selanjutnya, akan diselidiki untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

x1 = 30o + k ⋅ 360o → x1 = 30o
x2 = 150o + k ⋅ 360o → x2 = 150o

Untuk nilai k = 1 atau lebih akan menghasilkan nilai x yang melebihi rentang yang diberikan. Sehingga, perhitungan sampai di sini. Dan diperoleh himpunan penyelesaian yang di cari, yaitu {30o, 150o}.

Baca Juga: Integral Fungsi Trigonometri

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen

Grafik fungsi tangen berbeda dengan grafik fungsi sinus dan cosinus, grafiknya tidak membentuk bukit dan lembah. Hal ini dikarenakan nilai tangen yang tidak terdefinisi pada besar sudut 90o dan 270o. Sehingga, dalam rentang 0o sampai 360o terdapat dua buah asimtot.

Sama seperti fungsi sinus dan cosinus, nilai tertinggi fungsi y = tan x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah –1.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah.

persamaan trigonometri fungsi tangen

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi tangen.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tan ( 60 – ½x) = Cot (x +120o), 0 ≤ x ≤ 360o.

Pembahasan:

Menyelesaikan persamaan:

Tan (60o – ½x) = Cot ( x + 120o)
Tan (60o – ½x) = Tan (90o – ( x + 120o)
Tan (60o – ½x) = Tan (90o – x – 120o)
Tan (60o – ½x) = Tan (– x – 30o)
(60o – ½x) = (– x – 30o) + k⋅180o
x – ½x = –30o – 60o + k⋅180o
½x = –90o + k⋅180o
x = 2(–90o + k⋅180o)
x = –180o + k⋅360o

Selanjutnya akan ditentukan nilai x yang memenuhi untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

x = –180o + k⋅360o → x = –180o (Nilai x dari hasil perhitungan di atas tidak memenuhi karena di luar rentang yang diberikan).

Selanjutnya, akan diselidiki untuk nilai k = 1,

x = –180o + k⋅360o → x = 180o (memenuhi)

Untuk nilai k = 2 atau lebih, akan menghasilkan nilai x yang berada di luar rentang. Sehingga hanya terdapat satu himpunan penyelesaian untuk x, yaitu 180o.

Baca Juga: Rumus Trigonometri Sudut Pertengahan

Contoh Soal dan Pembahasan

Selain contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang telah diberikan di atas, terdapat variasi soal pengembangan dengan identitas trigonometri dan materi lain, misalnya persamaan fungsi kuadrat. Variasi contoh soal tersebut dapat dilihat pada kumpulan beberapa contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang diberikan di bawah.

Contoh 1 – Persamaan Trigonometri

Diketahui: Sin α + Cos α =  ⅓, 0o ≤ α ≤ 180o. Maka nilai Sin α – Cos α adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{4} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{3} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{2} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{2}{3} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \sqrt{17} \]

Pembahasan:

    \[ Sin \; \alpha + Cos \; \alpha = \frac{1}{3} \]

    \[ \left( Sin \; \alpha + Cos \; \alpha \right) ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \]

    \[ Sin^{2} \alpha + Cos^{2} \alpha + 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} \]

    \[ 1 + 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} - 1 \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = - \frac{8}{9} \]

Maka,

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = Sin^{2} \alpha + Cos^{2} \alpha - 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 - 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 - \left( - \frac{8}{9} \right) \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 + \frac{8}{9} \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = \frac{17}{9} \]

    \[ Sin \; \alpha - Cos \; \alpha = \sqrt{ \frac{17}{9}} = \frac{1}{3} \sqrt{17} \]

Jawaban: B

Contoh 2 – Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian dari Cos 2x + 7 Sin x – 4 = 0 dengan 0o ≤ x ≤ 360o adalah ….
A.  30o dan150 o
B.  30o dan 135 o
C.  45o dan 150 o
D.  60o dan 150 o
E.  60o dan 135 o

Pembahasan:

Menyederhanakan persamaan:

Cos 2x + 7 Sin x – 4 = 0
1 – 2 Sin2x + 7 sin x – 4 = 0
– 2 Sin2x + 7 sin x – 3 = 0

Misalkan: p = sin x, maka

–2p2 + 7 p – 3 = 0
(2p – 1)( –p + 3) = 0
p = ½ atau p = –3

Untuk p = ½:

Sin x = ½ → x = 30o, 150o

Untuk p = -–3 tidak ada nilai x yang memenuhi karena maksimal nilai pada fungsi trigonometri adalah 1 atau –1. Sehingga, nilai x yang memenuhi adalah 30o dan 150o.

Jawaban: A

Contoh 3 – Persamaan Trigonometri

Perhatikan persamaan berikut!

– √3 Cos x + Sin x = √2, 0o < x < 360o

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah ….

A. {135o, 215o}
B. {105o, 215o}
C. {105o, 195o}
D. {135o, 195o}
E. {105o, 135o}

Pembahasan:

Ubah persamaan menjadi bentuk a Cos x + b Sin x = k Cos ( x – α)

Menentukan nilai k:

    \[ k = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \]

    \[ k = \sqrt{ \left( - \sqrt{3} \right) ^{2} + 1^{2}} \]

    \[ k = \sqrt{ 3 + 1} \]

    \[ k = \sqrt{4} = 2 \]

Menentukan nilai α:

    \[ \alpha = arc \left( tan \left( \frac{b}{a} \right) \right) \]

    \[ = arc \left( tan \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right) \]

    \[ = 150^{o} \]

Sehingga,

– √3 Cos x + Sin x = √2
2 Cos ( x – 150o) = √2
Cos ( x –150o) = ½√2

Diperoleh:

x –150o = 45o + k⋅360o
x = 195o + k⋅360o

atau

x –150o = – 45o + k⋅360o
x = 105o + k⋅360o

Sekarang, akan dicari nilai x untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

  • x = 195o + k⋅360o → x = 195o
  • x = 105o + k⋅360o→ x = 105o

Untuk k = 1 dan seterusnya akan menghasilkan nilai di atas 360o. Nilainya tidak dicari karena tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian. Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {105o, 195o}.

Jawaban: C

Sekian pembahasan mengenai menyelesaikan persamaan trigonometri. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Aturan Cosinus (Materi dan Contoh Soal + Pembahasan)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.