Peluang Suatu Kejadian

By | November 24, 2017

Peluang merupakan ilmu yang mempelajari tentang sesuatu hal yang berkaitan dengan kemungkin. Sehingga, peluang suatu kejadian dapat diartikan sebagai kemungkinan dari sebuah kejadian. Kemungkinan tersebut bisa terjadi atau tidak terjadi, bisa sukses atau gagal. Materi tentang peluang masih erat kaitannya dengan materi statistika. Pembahasan materi peluang suatu kejadian meliputi mendaftar ruang sampel, peluang komplemen suatu kejadian, peluang kejadian majemuk, peluang kejadian majemuk saling lepas, peluang kejadian majemuk saling bebas, peluang kejadian bersyarat, peluang pengambilan tanpa pengembalian, dan peluang pengambilan dengan pengembalian. Mari simak uraian lebih lengkapnya pada penjabaran di bawah.

 
 

Ruang Sampel, Definisi Peluang, dan Frekuensi Harapan

Ruang sampel memuat seluruh kejadian yang mungkin terjadi. Contohnya pada pelemparan sekeping uang logam yang memiliki dua permukaan, permukaan pertama adalah gambar, sedangkan permukaan kedua adalah angka. Ruang sampel yang dimiliki oleh sekeping uang logam tersebut adalah angka dan gambar. Contoh lainnya adalah pada pelemparan dua buah dadu, banyaknya ruang sampel yang akan dibentuk akan berjumlah 36. Perhatikan ruang sampel pada pelemparan dua buah mata dadu di bawah.

Ruang Sampel Pelemparan Dua Mata Dadu

Jika ruang sampel memuat semua kejadian yang mungkin terjadi, maka peluang dapat didefinisikan sebagai kejadian yang terjadi dibanding seluruh kemungkinan kejadian yang terjadi. Misalkan dalam suatu percobaan A, kejadian yang terjadi disimbolkan dengan k dan seluruh kejadian (ruang sampel) dilambangkan dengan n. Peluang kejadian A didefinisikan dalam rumus di bawah.
 

    \[P(A) = \frac{k}{n} \]

 
Peluang berada dikisaran antara 0 sampai dengan satu. Sebuah kejadian yang memiliki nilai peluang 1 (satu) artinya kejadian tersebut pasti terjadi. Sedangkan kejadian dengan nilai peluang 0 (nol), kejadian tersebut tidak akan mungkin terjadi (mustahil terjadi). Semakin tinggi nilai peluang dari suatu kejadaian, kemungkinan terjadinya juga akan semakin besar.

Bilangan peluang menyimbolkan persentase kemungkian sebuah kejadian yang akan terjadi. Frekuensi harapan memberikan perhitungan berapa banyaknya kemungkinan dari suatu kejadian bakal terjadi. Nilai frekuensi harapan diperoleh dari perkalian antara peluang dengan banyaknya percobaan. Misalkan diketahui peluang munculnya angka dari pelemparan sebuah mata uang logam adalah \frac{1}{5}. Percobaan pelemparan mata uang logam dilakukan sebanyak 310 kali. Maka, frekuensi harapan munculnya angka dalam kejadian tersebut adalah \frac{1}{5} \times 310 = 62. Secara umum, frekuensi harapan terjadinya A dalam m kali percobaan dituliskan dalam rumus berikut.

    \[ F = P(A) \cdot m \]

 
Baca Juga: Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

 
 

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Pembahasan materi mengenai peluang suatu kejadian selanjutnya adalah peluang komplemen suatu kejadian. Kita tahu bahwa jumlah peluang adalah satu. Peluang komplemen suatu kejadian menyatakan kejadian yang berkebalikan dengan kejadian yang diharapkan. Dari suatu percobaan A, kejadian “tidak terjadinya kejadian A” dinamakan komplemen kejadian A \left( A^{C} \right). Misalnya, jika nilai peluang berhasil adalah 0,78 maka peluang gagalnya adalah 0,22. Jumlah antara peluang berhasil dan peluang gagal adalah 1 (satu). Peluang komplemen suatu kejadian dinyatakan dalam persamaan di bawah.

    \[ P \left( A^{C} \right) = 1 - P \left( A \right) \]

 
 

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang kejadian majemuk merupakan peluang dengan dua kejadian yang terjadi. Notasi peluang untuk kejadian majemuk adalah union \left( \cup \right). Misalkan A dab B adalah dua buah kejadian dalam ruang sampel S, peluang kejadian A \cup B dapat ditentukan dengan rumus peluang kejadian majemuk berikut.

Rumus Peluang Suatu Kejadian

 
Contoh soal tentang kejadian majemuk dapat dilihat pada kasus di bawah.
Satu buah kartu diambil dari satu paket kartu remi tanpa joker. Peluang terambilnya kartu King atau kartu berwarna hitam adalah ….
 
Pembahasan:
Jumlah satu paket kartu remi tanpa joker adalah 52 kartu.

A= kejadian terambil satu kartu king

    \[ P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \]

B= kejadian terambil satu kartu berwarna hitam

    \[ P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \]

A \cap B: kejadian terambil satu kartu king warna hitam

    \[ P \left( A \cap B \right) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \]

Peluang terambilnya kartu king atau kartu berwarna hitam adalah:

    \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right) \]

    \[ P \left( A \cup B \right) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} \]

    \[ P \left( A \cup B \right) = \frac{14}{26} = \frac{7}{13} \]

 
 

Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Lepas

Dua kejadian dalam suatu percobaan dikatakan saling lepas jika masing-masing kejadian tidak mungkin terjadi bersama-sama. Misalkan dua kejadian tersebut dinyatakan dalam kejadian A dan kejadian B, rumus peluang kejadian A atau B yang saling lepas adalah

Peluang Kejadian Majemuk Saling Lepas

Contoh soal tentang kejadian majemuk yang saling lepas dapat dilihat pada kasus di bawah.
Peluang terambilnya satu kartu diamond atau kartu berwarna hitam dari tumpukan satu paket kartu remi tanpa joker adalah ….

Pembahasan:
Dua kejadian berupa terambilnya kartu diamond berwana merah dan kartu berwarna hitam merupakan kejadian yang saling lepas. Alasannya adalah karena kartu diamond tidak ada yang berwarna hitam dan tidak ada kartu berwarna hitam yang merupakan diamond. Penyelesaian contoh soal kejadian majemuk yang saling lepas seperti di atas dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
 
A: kejadian terambil satu kartu diamond

    \[ P (A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \]

B: kejadian terambil satu kartu berwarna hitam

    \[ P (A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \]

Peluang terambilnya satu kartu diamond atau kartu berwarna hitam:

    \[ P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) \]

    \[ P \left( A \cup B \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

 
 

Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Bebas

Dua kejadian dalam suatu percobaan dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B, atau sebaliknya. Misalnya pada kejadian pelemparan koin, pada pelemparan pertama muncul angka kemudian pada pelemparan ke dua muncul sisi mata uang yang sama. Rumus untuk menentukan peluang kejadian A atau B yang saling bebas dapat dilihat pada persamaan di bawah.

Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas

 
Contoh permasalahan untuk kejadian majemuk yang saling bebas dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Dari pelemparan dua keping uang logam yang dilemparkan satu kali, peluang munculnya sisi gambar pada mata uang pertama dan pada mata uang ke dua muncul sisi mata uang yang sama adalah ….

Pembahasan:
Ruang sampel:

    \[ \left \{ (G, G), (G,A), (A,G), (A,A) \right \} \rightarrow n = 4 \]

A: Kejadian munculnya sisi gambar pada mata uang pertama.

    \[ \left \{ (G, G), (G,A) \right \} \rightarrow P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

B: Kejadian munculnya sisi mata uang yang sama untuk kedua mata uang tersebut.

    \[ \left \{ (G,G), (A, A) \rightarrow P(A) \right \} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Kejadian A \cap B:

    \[ P (A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

    \[ P (A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Jadi, peluang munculnya sisi gambar pada mata uang pertama dan pada mata uang ke dua muncul sisi mata uang yang sama adalah \frac{1}{4}.
 
 

Peluang Kejadian Bersyarat

Peluang kejadian bersyarat merupakan peluang suatu kejadian yang didahului dengan kejadian bersyarat. Contoh permasalahan ada pada pelemparan dua mata uang secara bersamaan, peluang kejadian bersayarat pada kejadian munculnya mata uang dengan kedua sisi yang muncul berupa angka, dan salah satu mata uang diketahui menunjukkan angka. Contoh lainnya adalah peluang munculnya bilangan prima pada sebuah pelemparan dadu dengan 6 sisi jika sudah diketahui bahwa hasil yang muncul adalah bilangan ganjil.

Rumus peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul dapat dilihat pada persamaan di bawah.
 
Peluang Kejadian Besyarat

 
Rumus peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah:
Peluang Kejadian Besyarat

 
Contoh permasalahan dan pembahasan mengenai peluang kejadian bersyarat dapat dilihat pada kasus di bawah.
Peluang munculnya bilangan ganjil pada satu kali pelemparan dadu dengan enam sisi jika diketahui telah muncul bilangan prima adalah ….

Pembahasan:
Misal:
A : Kejadian munculnya bilangan ganjil

    \[A = \left \{ 1, \; 3, \; 5 \right \} \rightarrow P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

B : Kejadian munculnya bilangan prima

    \[ B = \left \{ 2, \; 3, \; 5 \right \} \rightarrow P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

A \cap B: Kejadian munculnya bilangan prima ganjil

    \[ A \cap B = \left \{ 3, \; 5 \right \} \rightarrow \; n \left( A \cap B \right) = 2 \]

    \[ \left( P(A \cap B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Peluang munculnya bilangan ganjil jika diketahui telah muncul bilangan prima:

    \[ P \left( A | B \right) = \frac{P \left( A \cap B \right) }{P (B)} \]

    \[ P \left( A | B \right) = \frac{\frac{1}{3} }{\frac{1}{2}} \]

    \[ P \left( A | B \right) = \frac{2}{3} \]

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Peluang Pengambilan Tanpa Pengembalian
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 5 bola kuning. Dari kotak tersebut akan diambil 3 buah bola satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil bola pertama kuning, bola kedua kuning, dan bola ketiga merah adalah …

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{5}{9} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{4}{7} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{5}{18} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{3}{14} \]

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{10}{63} \]

Pembahasan:
A : kejadian terambilnya sebuah bola kuning pada pengambilan pertama

    \[P(A) = \frac{5}{9} \]

B: kejadian terambilnya sebuah bola kuning pada pengambilan kedua

    \[ P(B|A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

C: kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan ketiga

    \[ P \left(C | A,B \right) = \frac{4}{7} \]

Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama kuning, bola kedua kuning, dan bola ketiga merah adalah

    \[ P \left( A \cap B \cap C \right) = P(A) \cdot P \left( B | A \right) \cdot   P \left( C | A, B \right) \]

    \[ P \left( A \cap B \cap C \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2}  \cdot \frac{4}{7} \]

    \[ P \left( A \cap B \cap C \right) = \frac{10}{63} \]

Jawaban: E

 
Contoh Soal Peluang Pengambilan Tanpa Pengembalian
Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola hitam. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola pertama dan satu buah bola kedua secara berturut-turut tanpa pengembalian. Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{2}{7} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{3}{7} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{5}{7} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{2}{5} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{3}{5} \]

Pembahasan:
A : kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama

    \[P(A) =\frac{4}{7} \]

B : kejadian terambilnya sebuah bola hitam pada pengambilan kedua

    \[ P \left( B | A\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua hitam adalah:

    \[ P \left( A \cap B \right) = P (A) \cdot P \left( B | A \right) \]

    \[ P \left( A \cap B \right) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} \]

    \[ P \left( A \cap B \right) = \frac{2}{7} \]

Jawaban: A

 
Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Contoh:
Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 5 bola putih. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola pertama kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Kemudian akan diambil lagi sebuah bola ke dua. Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{15}{256} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{13}{256} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{15}{128} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{13}{64} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{15}{64} \]

 
Pembahasan:
A : Kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama

    \[P(A) = \frac{3}{8} \]

B : kejadian terambilnya sebuah bola putih pada pengambilan kedua

    \[ P(B) = \frac{5}{8} \]

Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih:

    \[ P \left( A \cap B \right) = P (A) \cdot P \left( B | A \right) \]

    \[ P \left( A \cap B \right) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} \]

    \[ P \left( A \cap B \right) = \frac{15}{64} \]

Jawaban: E

Sekian pembahasan mengenai peluang suatu kejadian, semoga bermanfaat! Terimakasih telah mengunjunjungi idschool.net, baca juga Pengertian Permutasi, Kombinasi, dan Perbedaannya.