Pembagian Suku Banyak

By | December 12, 2017

Selain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak, operasi hitung suku banyak juga meliputi pembagian. Materi pembagian suku banyak sengaja dipisah dari operasi hitung lain karena penjelasannya cukup memakan tempat, sehingga perlu dipisah pada halaman tersendiri agar pembahasan tidak terlalu panjang. Jika sobat idschool belum mengerti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, bisa dibaca/dipahami terlebih dahulu. Jika sobat idschool sudah sukup menguasai materi tersebut bisa melanjutkan menyimak pembahasan mengenai pembagian suku banyak di halaman ini.

Materi pembagian suku banyak yang akan dibahas meliputi pembagian suku banyak dengan (x - k), (ax + b), dan ax^{2} + bx + c. Sebenarnya, operasi pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan cara bersusun biasa. Namun, sobat idschool akan dikenalkan menentukan hasil pembagian suku banyak dengan cara horner. Simak penjelasan materi mengenai pembagian suku banyak yang akan diberikan di bawah.

 

Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)

Bentuk pertama pembagian suku banyak yang akan dibahas adalah pembagian dengan (x - k). Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan hasil pembagian yaitu cara bersusun dan skema/bagan/horner. Kedua cara menghasilkan hasil akhir yang sama. Jika sobat idschool tanya cara mana yang lebih baik? Jawabannya adalah keduanya sama. Masing-masing cara akan lebih baik jika digunakan untuk menyelesaikan tipe soal yang tepat. Perbanyak latihan akan menambah insting sobat idschool untuk mengetahui tipe soal bagaimana diselesaikan dengan cara apa. Selanjutnya perhatikan gambaran umum tentang pembagian suku banyak berikut.

 
Apabila diberikan suku banyak seperti pada persamaan di bawah.

    \[ f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} \]

Kemudian f(x) dibagi dengan (x - k) maka bentuk umum hasil baginya adalah H(x) yang terlihat seperti persamaan di bawah.

    \[ f(x) = (x - k) \cdot H(x) +S(x) \]

 
Keterangan:
H(x)   = hasil bagi berupa suku banyak bederajat (n - 1)
S(x)   = sisa pembagian
 
Sekarang, kita akan membahas mengenai pembagian suku banyak yang akan ditunjukkan melalui pembahasan di soal. Sesuai informasi yang telah disebutkan sebelumnya, pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara bersusun dan skema/bagan/horner. Cara pertama yang akan kita bahas kali ini adalah cara bersusun. Perhatikan prosesnya berikut.
 
Cara bersusun
Pada pembahasan di bawah akan ditunjukkan cara menentukan hasil bagi f(x) = x^{2} +6x - 10 dengan (x - 1) dengan cara bersusun.
 
Pembagian Suku Banyak
 
Pertama, perhatikan bahwa persamaan f(x) = x^{2} +6x - 10 mempunyai pangkat tertinggi 2, sedangkan pembaginya x - 1 mempunyai pangkat tertinggi 1. Agar x^{2} pada f(x) = x^{2} +6x - 10 hilang, sobat idschool perlu mengalikan x - 1 dengan x (sebagai bagian dari hasil bagi) agar menghasilkan x^{2} - x sehingga x^{x} bisa saling dikurangkan. Hasil pengrangan x^{2} +6x dengan x^{2} - x adalah 7x.
 
Turunkan nilai -10 sehingga bilangan yang harus dibagi selanjutnya adalah 7x - 10. Untuk mendapatkan nilai 7x, sobat idschool perlu mengalikan x - 1 dengan 7, sehingga keduanya bisa saling mengurangkan. Diperoleh hasil kali 7 dengan x - 1 adalah 7x - 7. Selanjutnya, kurangkan 7x - 10 dan 7x - 7 yaitu -3.
 
Sampai proses ini, tidak ada lagi yang bisa dibagi sehingga prosesnya selesai. Jadi, hasil bagi dari f(x) = x^{2} +6x - 7 adalah x + 7 dan sisa pembagiannya adalah -3.

 
Cara Skema (Cara Horner)
Pada pembahasan kali ini, akan ditunjukkan pembagian suku banyak dengan cara skema/bagan/horner. Untuk membandingkan dengan cara bersusun, kita akan menyelesaikan kasus serupa, yaitu menentukan hasil bagi dari f(x) = x^{2} +6x - 10 dengan (x - 1). Namun, cara yang digunakan adalah cara skema/bagan/horner. Jika sobat idschool belum tahu proses perhitungan dengan cara skema/bagan/horner bisa pelajari terlebih dahulu di sini. Selanjutnya, perhatikan proses menentukan hasil bagi f(x) = x^{2} +6x - 10 dengan (x - 1) berikut.
 

Metode Horner untuk Pembagian suku banyak

 
Diperoleh hasil bagi dari f(x) = x^{2} +6x - 10 dengan (x - 1) adalah x + 7 dan sisa pembagiannya adalah -3.
 
Bagaimana? Mudah Bukan? Cara mana yang lebih baik? Keduanya pasti sama-sama punya keunggulan masing-masing.

 
 

Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)

Langkah-langkah menentukan pembagian dengan ax + b menggunakan cara bersusun tidak jauh berbeda dengan menentukan pembagian polinomial dengan x - k pada pembahasan sebelumnya. Sedangkan pembagian dengan ax + b menggunakan cara skema/bagan/horner perlu dilakukan sedikit lagkah tambahan. Perhatikan bentuk umum pembagian suku banyak untuk bentuk pembagi berupa ax + b di bawah.
 
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) diperoleh hubungan:

    \[ f(x) = (ax + b) \cdot \left[ \frac{H(x)}{a} \right] + S(x)\]

Keterangan:
H(x) = Hasil bagi yang berupa suku banyak berderajat (n – 1)
S(x) = sisa pembagian

 
Bagaimana, bentuknya hampir sama dengan sebelumnya bukan?
 

Untuk cara bersusun, caranya sama persis dengan pembahasan sebelumnya, sehingga tidak akan kita bahas lagi di sini. Pembahasan kita akan lansung berlanjut pada pembagian suku banyak dengan cara skema/bagan/horner.

Sebenarnya, langkahnya hampir sama dengan pembahasan sebelumnya tentang pembagian suku banyak dengan x - k. Hanya saja perlu ada sedikit proses tambahan. Langkah tambahan untuk bentuk pembagi (ax + b) adalah mengganti nilai k = - \frac{b}{a}.

 
Perhatikan proses pengerjaan di bawah untuk menambah pemahaman sobat idschool.
 
Tentukan hasil bagi dari f(x) = x^{2} + 7x + 1 dengan 3x - 2.
 
Pembahasan:

    \[ 3x - 2 \rightarrow k = \frac{2}{3} \]

 
Proses pembagian dengan cara horner.

Metode Horner untuk Pembagian suku banyak 1

Jadi, hasil bagi dari f(x) = x^{2} + 7x + 1 dengan 3x - 2 adalah

    \[H(x) = \frac{x + \frac{23}{3}}{3}\]

    \[ H(x) = \frac{1}{3}x +\frac{23}{9} \]

 
Sisanya adalah

    \[S(x) = \frac{49}{9} \]

 
Caranya hampir sama dengan pembagian dengan x - k bukan?
 
Baca Juga: Contoh Soal Kesamaan Suku Banyak
 
 

Pembagian Suku Banyak dengan ax^{2} + bx + c

Selanjutnya adalah pembagian suku banyak dengan ax^{2} + bx + c. Cara yang dapat dilakukan dibedakan untuk dua kondisi. Kondisi tersebut adalah pembagi yang tidak dapat difaktorkan dan pembagi yang dapat difaktorkan. Selanjutnya simak penjelasan lebih lanjut pada penjabaran lengkapnya di bawah.
 
Pembagi Tidak Dapat Difaktorkan
Pembagian suku banyak f(x) dengan ax^{2} + bx + c merupakan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dilakukan dengan cara bersusun. Perhatikan langkahnya di bawah.
 
Tentukan hasil bagi dari x^{3} - 2x^{2} + 6x + 7 dengan x^{2} - x + 1.
 
Pembahasan:
Perhatikan proses pembagian pada gambar di bawah.
 
Pembagian Suku Banyak

Diperoleh hasil bagi dari x^{3} - 2x^{2} + 6x + 7 dengan x^{2} - x + 1 adalah x - 1 dan sisanya adalah 4x + 8.

 
Pembagi Dapat Difaktorkan
Apabila pembagi ax^{2} + bx + c dapat difaktorkan maka pembagian dapat dilakukan dengan menggunakan cara Horner seperti pada contoh yang akan diberikan berikut.
 
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi f(x) = x3 - 2x2 - x + 5 dengan x^{2} - 1!
Pembahasan:
Pembagian f(x) = x^{3} - 2x^{2} - x + 5 dengan x^{2} - 1 dapat dituliskan sebagai berikut.

    \[ f(x) = \left( x^{2} - 1 \right) \cdot H(x) + S(x) \]

    \[ x^{3} - 2x^{2} - x + 5 = \left( x^{2} - 1 \right) \cdot H(x) + S(x) \]

    \[ x^{3} - 2x^{2} - x + 5 = \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) \cdot H(x) + \left( ax + b \right) \]

 
Untuk mencari hasil pembagian dan sisa akan digunakan dengan cara horner, perhatikan gambar berikut.
 
Metode Horner untuk Pembagian suku banyak 3

 
Diperoleh hasil pembagiannya adalah H(x) = x - 2, lebih lengkapnya dapat dilihat pada persamaan di bawah.

    \[f(x) = \left( x^{2} -1 \right) \cdot H(x) + S(x) \]

    \[f(x) = \left( x^{2} -1 \right) \cdot \left( x - 2 \right) + 4 \]

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Sisa pembagian f(x) dengan x^{2} + 3x - 10 adalah 3x + 2. Jika f(x) dibagi dengan x - 2 maka sisanya adalah ….
A.       9
B.       8
C.       7
D.       6
E.       5

 
Pembahasan:
Bentuk pembagian f(x) dapat dituliskan seperti persamaan di bawah.
 

    \[ f(x) = \left( x^{2} + 3x - 10 \right) \cdot H(x) + \left( 3x + 2 \right) \]

    \[ f(x) = \left( x +5 \right) \left( x - 2  \right) \cdot H(x) + \left( 3x + 2 \right) \]

 
Akan ditentukan sisa hasil pembagian f(x) dengan x - 2.
Perhatikan bahwa x - 2 merupakan faktor dari x^{2} + 3x - 10, sehingga untuk mengetahui sisanya dapat diketahui dengan substitusi k = 2 (x - 2 \rightarrow k = 2) pada f(x).

    \[ f(2) = \left( 2 +5 \right) \left( 2 - 2  \right) \cdot H(2) + \left( 3 \cdot 2 + 2 \right) \]

    \[ f(2) = 7 \cdot 0 \cdot H(2) + \left( 6 + 2 \right) \]

    \[ f(2) = 0 + 8 = 8 \]

 
Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x - 2 adalah 8.
Jawaban: B

 
Sekian pembahasan mengenai pembagian suku banyak yang dilengkapi dengan contoh soal pembagian suku banyak dan penyelesaiannya. Jika ada bagian yang kurang jelas atau ada bagian yang tidak teliti bisa kasih komentar di kolom komentar di bawah. Terimakasih sudah berkunjung di idschool.net, semoga bermanfaat.
 
Baca Juga: Teorema Sisa dan Teorema Faktor Pada Suku Banyak