Pengertian dan Nilai Suku Banyak (Polinomial)

By | December 12, 2017

Sebelumnya, sobat idschool pasti sudah mempelajari tentang persamaan kuadrat dan cara memfaktorkannya, yaitu persamaan yang memiliki pangkat tertinggi sama dengan 2. Bentuk persamaan kuadrat dapat termasuk dalam suku banyak atau sering disebut juga sebagai polinomial. Suku banyak atau polinomial dapat diartikan sebagai persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat bertingkat. Contoh persamaan yang termasuk dalam suku banyak adalah x^{4} - 1, 2x^{3} + x^{2} - 5, dan lain sebagainya. Pangkat tertinggi dari sebuah polinomial disebut dengan derajat. Misalnya diberikan persamaan suku banyak x^{3} - x + 3, suku banyak tersebut memiliki derajat 3. Secara umum, suku banyak atau polinomial dengan variabel x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk berikut.

Pengertian Suku Banyak (Polinomial)
 

Tidak semua persamaan berpangkat tingkat disebut sebagai suku banyak. Persamaan yang memiliki pangkat negatif tidak termasuk dalam persamaan suku banyak. Kesimpulan yang dapat diambil adalah bilangan pangkat dari suku banyak harus merupakan bilangan cacah. Perhatikan persamaan berpangkat yang tidak termasuk dalam suku banyak di bawah ini.

    \[ f(x) = 2x^{2} + 5x - 3^{-1} \]

Atau

    \[ f(x) = 2x^{2} + 5x - \frac{3}{x} \]

Pesamaan f(x) seperti di atas memiliki variabel x dengan pangkat -1. Seperti kita ketahui bahwa -1 bukan merupakan bilangan cacah (bilangan bulat positif). Sehingga, persamaan f(x) bukan merupakan suku banyak.

 
 

Nilai Suku Banyak

Nilai dari suatu suku banyak atau polinomial di suatu titik dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu cara substitusi dan horner. Cara substitusi diperoleh hanya dengan mengganti nilai variabel x dengan nilai di titik mana ingin diketahui nilai suku banyak f(x) tersebut. Sedangkan cara yang ke dua, cara horner, diperoleh dengan meletakkan koefisien-koefisien yang dimiliki variabel-varibelnya pada bagan dengan aturan yang telah ditentukan. Simak pembahasan lengkapnya untuk kedua metode pada penjabaran materi di bawah.

Substitusi
Persamaan suku banyak f(x) memiliki bentuk umum seperti yang telah dibahas sebelumnya. Nilai suku banyak di titik x = k dapat diperoleh dengan mengganti nilai x dengan k kemudian menghitungnya secara Aljabar biasa. Nilai f(x) dengan bentuk umumnya di suatu titik x = k dinyatakan dalam persamaan di bawah.

    \[ f(x) = a_{n}k^{n} + a_{n - 1}k^{n-1} + . . . + a_{1}k + a_{0}\]

Untuk menambah pemahaman sobat idschool semuanya, perhatikan contoh soal di bawah.
Nilai suku banyak f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 pada titik x = 3 dapat diperoleh dengan cara di bawah.

    \[ f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 \]

    \[ f(3) = 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 \]

    \[ f(3) = 27 + 27 + 9 + 1 \]

    \[ f(3) = 64 \]

Jadi, nilai dari sukubanyak f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 untuk x = 3 adalah 64.

 
Skema/Bagan (Cara Horner)
Langkah pertama mencari nilai suku banyak f(x) untuk x = k dengan cara horner adalah meletakkan koefisien secara berurutan mulai dari pangkat tertinggi ke terendah pada sebuah bagan. Selanjutnya, melakukan operasi hitung perkalian dan penjumlahan hingga mendapatkan nilainya. Misalkan suku banyak berderajat empat dinyatakan dalam bentuk umum berikut.

    \[ f(x) = a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \]

Bentuk bagan dan letak koefisien sesuai aturan yang telah ditentukan dapat dilihat pada gambar di bawah.
 
Metode Horner
 
Baca Juga: Contoh Soal Kesamaan Suku Banyak
 
Berikut ini adalah langkah-langkah detailnya untuk menentukan nilai dari suku banyak f(x) berderajat 4 dengan bentuk umum seperti persamaan di atas dengan cara skema.

  1. Buat skema/bagan dan letakkan koefisien dari suku banyak f(x) sesuai aturan.
    Skema Horner
  2.  

  3. Lakukan operasi perkalian dan penjumlahan dengan langkah sebagai berikut.
    Proses perhitungan cara horner
     
    Keterangan: tanda anak panah merah menujukkan tidak ada proses yang perlu dilakukan, sedangkan tanda anak panah biru menunjukkan proses perkalian.
  4.  

  5. Nilai dari suku banyak f(x) untuk x = k adalah

        \[f(k) = a_{0}+a_{1} \cdot k + a_{2}  \cdot  k^{2} + a_{3}  \cdot  k^{3} + a_{4}  \cdot k^{4} \]

Untuk membantu pemabahan sobat, perhatikan proses pengerjaan menentukan nilai f(x) di titik x = k dengan cara horner berikut.
Tentukan nilai suku banyak

    \[ f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 4x - 1 \]

untuk x = 2 dengan cara skema.

Pembahasan:
Perhatikan gambar skema yang sesuai dengan f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 4x - 1 di bawah!
 
Meghitung Nila Suku Banyak dengan Cara Horner

Sehingga, nilai suku banyak f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 4x - 1 untuk x = 2 adalah 27.

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Nilai dari f(x) = x^{2} + 4x - 16 untuk x = 4 adalah ….
A.       16
B.       23
C.       38
D.       40
E.       56

Pembahasan:
Substitusi nilai x = 4 pada persamaan f(x):

    \[ f(x) = x^{2} + 4x - 16 \]

    \[ f(4) = 4^{2} + 4 \cdot 4 - 16 \]

    \[ f(4) = 16 + 16 - 16 \]

    \[ f(4) = 16 \]

Jawaban: A

Contoh 2
Diketahui nilai f(3) = 46 dan f(x) = 2x^{4} + x^{3} - 3x^{2} - kx + k maka nilai k adalah ….
A.       19
B.       24
C.       39
D.       43
E.       58

Pembahasan:
Substitusi nilai x = 3 pada persamaan f(x):

    \[ f(x) = 2x^{4} + x^{3} - 3x^{2} - kx + k \]

    \[ f(3) = 2 \cdot 3^{4} + 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - k \cdot 3 + k \]

    \[ 46 = 2 \cdot 81 + 27 - 3 \cdot 9 - k \cdot 3 + k \]

    \[ 46 = 162 + 27 - 27 - 3k + k \]

    \[ 46 = 162 - 2k \]

    \[ 2k = 162 - 46 \]

    \[ 2k = 116 \]

    \[ k = \frac{116}{2} = 58 \]

Jawaban: E

 
Sekian pembahasan mengenai pengertian suku banyak. Jika ada bagian yang tidak paham bisa ditanyakan pada kolom komentar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat:

 
Baca Juga: Operasi Suku Banyak: Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian