Pengertian, Rumus, dan Sifat-sifat Notasi Sigma

By | December 6, 2017

Sigma dalam bahasa sederhananya dapat dikatakan sebagai jumlah. Notasi sigma adalah simbol untuk menjumlahkan sejumlah bilangan terurut yang mengikuti suatu pola dan aturan tertentu. Materi notasi sigma masih mempunyai hubungan dengan materi barisan dan deret, baik aritmetika atau geometri. Jadi, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai materi tersebut karena akan membantu sobat dalam mempelajari materi tentang pengertian, rumus, dan sifat-sifat notasi sigma. Secara umum, notasi sigma diberikan pada persamaan di bawah.

Notasi Sigma
 
Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma yang dapat digunakan untuk mengerjakan soal-soal tentang notasi sigma. Ada 8 sifat notasi sigma yang akan diberikan di sini. Perhatikan kedelapan notasi sigma pada persamaan di bawah.
 

Sifat-sifat notasi sigma

 
Cara yang tepat dilakukan untuk mempelajari pengertian, rumus, dan sifat-sifat notasi sigma adalah melihat penggunaannya dalam menyelesaikan soal. Sehingga, sobat idschool dapat melihat secara langsung penggunaan notasi sigma dalam menyelesaikan masalah. Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan notasi sigma.
 
Tentukan hasil akhir dari persamaan di bawah!

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3=... \]

Pembahasan:

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= \left( 2 \cdot 1 + 3 \right) + \left( 2 \cdot 2 + 3 \right) + \left( 2 \cdot 3 + 3 \right) + ... + \left( 2 \cdot 10 + 3 \right)  \]

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= 5 + 7 + 9 + ... +23  \]

Perhatikan deret yang dibentuk pada persamaan di atas!
Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan nilai suku pertama sama dengan 5 (U_{1} = 5), suku terakhir sama dengan 23 (U_{n} = 5), dan banyak jumlah suku yang dijumlahkan adalah 10 (n = 10). Maka hasil penjumlahan notasi sigma tersebut adalah

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= 5 + 7 + 9 + ... +23  \]

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= \frac{10}{2} \left( 5 + 23 \right)  \]

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= 5 \cdot 28  \]

    \[ \sum_{i=1}^{10}2i+3= 140  \]

 
Contoh lain tentang notasi sigma beserta pembahasannya dapat dilihat pada beberapa contoh soal di bawah.
 
Contoh 1
Perhatikan deret bilangan di bawah!

    \[ p^{10}  + p^{9}q  + p^{8}q^{2}  + ...  + q^{10} \]

Notasi sigma untuk persamaan di atas adalah ….

    \[\textrm{A.} \; \; \;  \sum_{i=0}^{10} p^{10-i} q^{i - 1} \]

    \[\textrm{B.} \; \; \;  \sum_{i=1}^{11} p^{11- i} q^{i - 1} \]

    \[\textrm{C.} \; \; \;  \sum_{i=1}^{10} p^{i} q^{10 - i} \]

    \[\textrm{D.} \; \; \;  \sum_{i=1}^{11} p^{i-1} q^{11- i} \]

    \[\textrm{E.} \; \; \;  \sum_{i=1}^{10} p^{i} q^{i} \]

Pembahasan:
Notasi sigma yang tepat untuk persamaan p^{10}  + p^{9}q  + p^{8}q^{2}  + ...  + q^{10} adalah

    \[ \sum_{i=0}^{10} p^{10 - i} q^{i} = \sum_{i=1}^{11} p^{10 - (i - 1)} q^{i - 1} \]

    \[ \sum_{i=0}^{10} p^{10 - i} q^{i} = \sum_{i=1}^{11} p^{10 - i + 1} q^{i - 1} \]

    \[ \sum_{i=0}^{10} p^{10 - i} q^{i} = \sum_{i=1}^{11} p^{11 - i} q^{i - 1} \]

Jawaban: B

 
contoh 2
Jika \sum_{i=1}^{4} x_{i} = 3, maka \sum_{i=3}^{6} \left(1 - x_{i-2} \right) = ....
A.     1
B.     2
C.     x
D.     2x
E.     3x
Pembahasan:

    \[ \sum_{i=3}^{6} \left( 1 - x_{i-2} \right) = \sum_{i=3}^{6} 1 - \sum_{i=3}^{6} x_{i - 2} \]

    \[ \sum_{i=3}^{6} \left( 1 - x_{i-2} \right) = \left( 1 +  1 +  1 +  1 \right) - \sum_{i=1}^{4} x_{i - 2 + 2}  \]

    \[ \sum_{i=3}^{6} \left( 1 - x_{i-2} \right) = 4 - \sum_{i=1}^{4} x_{i} \]

    \[ \sum_{i=3}^{6} \left( 1 - x_{i-2} \right) = 4 - 3 \]

    \[ \sum_{i=3}^{6} \left( 1 - x_{i-2} \right) = 1 \]

Jawaban: A
 
Sekian pembahasan materi tentang pengertian, rumus, dan sifat-sifat notasi sigma. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat. Baca Juga: Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika