Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Serta Sifat-sifatnya

By | November 18, 2017

Pembahasan materi vektor pada halaman ini terkait operasi penjumlahan dan pengurangan vektor serta sifat-sifatnya. Vektor yang dinyatakan dalam susunan urutan bilangan real memiliki operasi penjumlahan dan pengurangan yang sedikit berbeda dari operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar biasa. Namun, pada dasarnya operasi penjumlahan dan pengurangannya sama. Sifat-sifat yang akan dibahas nantinya adalah sifat terkait proses penjumlahan dan pengurangan antar vektor. Secara geometris, penjumlahan dua buah vektor dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Segitiga dan Aturan Jajargenjang. Keduanya akan dibahas terpisah dalam penjabaran materi di bawah.

 
 

Penjumlahan Vektor

Pembahasan materi penjumlahan dan pengurangan serta sifat-sifatnya yang pertama akan diuraikan adalah cara penjumlahan dan pengurangan antar vektor. Pertama, sobat idschool akan mempelajari aturan penjumlahan dan pengurangan yang terdiri atas aturan segitiga dan aturan jajar genjang.

Penjumlahan Vektor dengan Aturan Segitiga

Seperti namanya, ketiga vektor dalam penjumlahan vektor dengan aturan segitiga membentuk sebuah bentuk segitiga. Pada penjumlahan vektor dengan aturan segitiga melibatkan tiga vektor. Vektor pertama adalah \vec{a}, vektor ke dua adalah \vec{b}, dan vektor ke tiga merupakan resultan kedua vektor (penjumlahan kedua vektor \vec{a} dan \vec{b}). Gambaran penjumlahan vektor dengan aturan segitiga dapat dilihat pada gambar di bawah.

Penjumlahan Dua Vektor Metode Segitiga

 
Penjumlahan vektor dengan Aturan Jajargenjang

Seperti halnya penjumlahan vektor dengan aturan segitiga, penjumlahan dua vektor dengan aturan jajar genjang juga melibatkan tiga vektor, yaitu vektor pertama \vec{a}, vektor ke dua \vec{b}, dan resultan dari kedua vektor \vec{a+b}. Jika pada penjumlahan vektor dengan aturan segitiga membentuk bangun segitiga, maka tidak begitu dengan penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang. Ketiga vektor pada penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang akan membentuk bangun jajargenjang jika ujung-ujung ketiga vektor dihubungkan dengan garis bantu. Gambaran bentuk penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang dapat dilihat pada gambar di bawah.

Penjumlahan Vektor Dua Vektor Aturan Jajargenjang

 
Rumus Penjumlahan Dua Vektor
Misalkan diketahui dua buah vektor pada dimensi 2 dinyatakan dalam arah \vec{a} = \left( x_{1}, y_{1} \right) dan \vec{b} = \left( x_{2}, y_{2} \right). Maka arah vektor untuk penjumlahan dua vektor dinyatakan dengan rumus berikut.

    \[ \vec{a} + \vec{b} = \left( x_{1} + x_{2}, \; y_{1} + y_{2} \right) \; = \; \begin{pmatrix} x_{1} + x_{2} \\ y_{1} + y_{2} \end{pmatrix} \]

Berikut ini rumus untuk menentukan panjang hasil penjumlahan dua vektor antara \vec{a} = x_{A}i + y_{A}j dan \vec{b} = x_{B}i + y_{B}j.
 

Rumus Penjumlahan Dua Vektor
 
Baca Juga: Materi Vektor Matematika SMA
 
 

Pengurangan Vektor

Seperti pada penjumlahan dua buah vektor, ada dua aturan dalam pengurangan dua vektor. Dua aturan tersebut sama dengan aturan pada penjumlahan dua vektor yaitu aturan segitiga dan jajargenjang. Penjelasan mengenai pengurangan vektor dapat dilihat dalam gambar di bawah.

Pengurangan Dua Vektor Aturan Segitiga dan Jajargenjang

 
Rumus Pengurangan Dua Vektor
Misalkan diketahui dua buah vektor pada dimensi 2 dinyatakan dalam arah \vec{a} = \left( x_{1}, y_{1} \right) dan \vec{b} = \left( x_{2}, y_{2} \right). Maka arah vektor untuk penjumlahan dua vektor dinyatakan dengan rumus berikut.

    \[ \vec{a} - \vec{b} = \left( x_{1} - x_{2}, \; y_{1} - y_{2} \right) \; = \; \begin{pmatrix} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} -  y_{2} \end{pmatrix} \]

Berikut ini rumus untuk menentukan panjang hasil penjumlahan dua vektor antara \vec{a} = x_{A}i + y_{A}j dan \vec{b} = x_{B}i + y_{B}j.
 

Rumus Pengurangan Dua Vektor

 
 

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Pada penjumlahan vektor memenuhi sifat komutatif dan asosiatif. Sedangkan pada pengurangan dua buah vektor tidak berlaku dua sifat tersebut. Berikut ini adalah sifat penjumlahan dan pengurangan vektor.

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh soal perhitungan vektor pada ruang dimensi dua
Diketahui 3 vektor yang dinyatan dengan persamaan seperti di bawah.

    \[ \vec{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} \]

    \[ \vec{b} = - \hat{i} + 4 \hat{j} \]

    \[ \vec{r} = 7 \hat{i} - 8 \hat{j} \]

Jika vektor r dinyatakan dalam persamaan \vec{r} = k \vec{a} + m \vec{b}, maka nilai k + m adalah ….
A.   3
B.   2
C.   1
D.   -1
E.   -2

Pembahasan:

    \[ \vec{r} = k \vec{a} + m \vec{b} \]

    \[ 7 \hat{i} - 8 \hat{j} = k \left( 3 \hat{i} - 2 \hat{j} \right) + m \left( - \hat{i} + 4 \hat{j} \right) \]

    \[ 7 \hat{i} - 8 \hat{j} = 3 \hat{i} k - 2 \hat{j} k - \hat{i} m + 4 \hat{j} m \]

    \[ 7 \hat{i} - 8 \hat{j} = 3 \hat{i} k - \hat{i} m - 2 \hat{j} k + 4 \hat{j} m \]

    \[ 7 \hat{i} - 8 \hat{j} = \left( 3k - m)  \right) \hat{i} + \left( -2 k + 4 m \right) \hat{j} \]

Berdasarkan persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan yaitu,

    \[ 7 \hat{i} = \left( 3k - m)  \right) \hat{i} \rightarrow 3k - m = 7 \]

    \[ - 8 \hat{j} = \left( -2 k + 4 m \right) \hat{j} \rightarrow -2k + 4m = -8 \]

Selanjutnya, kita dapat menentukan nilai k dan m berdasarkan dua persamaan di atas.

 
Mencari nilai k:
Proses Substitusi Untuk Mencari nilai vektor k

 
Mencari nilai m:
Proses substitusi nilai m pada vektor

Jadi, nilai k + m = 2 + (-1) = 1.

Jawaban: C