Perkalian Matriks 3 x 3, 2 x 2, dan (m x n) x (n x m)

By | March 16, 2018

Konsep perhitungan perkalian matriks adalah mengalikan elemen-elemen baris pada matriks pertama dengan elemen-elemen kolom pada matriks ke dua. Setiap anggotan elemen matriks dikalikan dengan anggota elemen matriks lainnya sesuai urutan dan aturan yang berlaku pada perkalian matriks. Halaman ini akan mengulas perkalian matriks 2 x 2, perkalian matriks 3 x 3, dan perkalian matriks (m x n) x (n x p).

Perhitungan pada perkalian antara dua buah matriks dtengan ukuran 2 x 2 dapat dibilang merupakan perkalian matriks yang cukup sederhana untuk dilakukan. Sobat idschool hanya perlu mengalikan baris dan kolom yang sesuai aturan perkalian matriks. Proses perkalian matriks 3 x 3 akan lebih rumit dari perkalian matriks 2 x 2. Semakin besar ukuran matriks, semakin rumit juga proses perkalian yang harus dilakukan untuk mendapatkan hasil perkalian matriks.

Ukuran matriks dinyatakan dalam baris dikali kolom. Sehingga, matriks yang dinyatakan dalam ukuran 2 x 2 artinya memiliki anggota matriks yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Ukuran matriks yang dinyatakan dalam m x n artinya matriks tersebut disusun oleh anggota bilangan yang terdiri atas m baris dan n kolom.

Dua buah matriks hanya dapat dikalikan jika matriks pertama memiliki jumlah kolom yang sama dengan matriks ke dua. Misalkan, matriks 3 x 2 dengan matriks 2 x 3. Matriks 3 x 2 memiliki jumlah kolom sebanyak 2. Matriks 2 x 3 memiliki jumlah baris sejumlah 2. Karena jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks ke dua, maka kedua matriks tersebut dapat di kalikan. Hasil perkalian matriks 3 x 2 dengan matriks 2 x 3 adalah matriks 3 x 3. Secara umum, ukuran dari hasil perkalian dua matriks dinyatakan pada persamaan di bawah.

perkalian matriks

Perhatikan perbedaan dua buah matriks yang dapat dikalikan dan dua buah matriks yang tidak dapat dikalikan pada contoh yang diberikan di bawah.

Contoh dua matriks yang tidak dapat dikalikan

kriteria matriks yang tidak dapat dikalikan

Matriks pertama mempunyai jumlah kolom sebanyak 3 dan matriks ke dua mempunyai jumlah baris sebanyak 2. Karena jumlah kolom pada matriks pertama tidak sama dengan jumlah baris pada kolom ke dua maka dua buah matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

Contoh dua matriks yang dapat dikalikan

kriteria matriks yang dapat dikalikan

Matriks pertama pada contoh yang diberikan di atas memiliki jumlah kolom sebanyak 4 (empat) dan jumlah baris pada matriks ke dua adalah 4 (empat). Jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks ke dua. Hasil perkalia dua buah matriks ini adalah matriks dengan ukuran 2 x 2.

Selanjutnya, simak perkalian matriks yang akan diberikan lebih detail pada pembahasan di bawah. Ulasan yang pertama adalah perkalian matriks 2 x 2.

Baca Juga: Operasi Hitung Mattriks

 

Perkalian Matriks 2 x 2

Perkalian dua buah matriks di mana kedua matriks tersebut masing-masing memiliki ukuran 2 x 2 akan menghasilkan matriks dengan ukuran 2 x 2 juga. Proses perkalian matriks ini tidak begitu rumit, hal ini dikarenakan anggota-anggota penyusun matriks dengan ukuran 2 x 2 hanya terdiri atas 4 anggota untuk setiap matriks. Sehingga, perkaliannya dapat dengan mudah dilakukan dengan tingkat kerumitan yang rendah.

Cara mengalikan dua buah matriks adalah mengalikan antar baris dan kolom. Penjelasan perkalian matriks 2 x 2 dalam gambar dapat dilihat seperti berikut.

perkalian matriks 2x2

Contoh soal perkalian matriks 2 x 2

Tentukan hasil perkalian matriks A dan B di bawah!

    \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

    \[ B = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\  6 & 4 \end{pmatrix} \]

Jawab:

    \[ A \times B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 7 & 5 \\  6 & 4 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot 7 + 4 \cdot 6 & 3 \cdot 5 + 4 \cdot 4 \\ 1 \cdot 7 + 2 \cdot 6 & 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 21 + 24 & 15 + 16 \\ 7 + 12 & 5 + 8 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 45 & 31 \\ 19 & 13 \end{pmatrix} \]

Demikian, proses perkalian matriks antara dua buah matriks dengan ukuran 2 x 2. Mudah bukan? Selanjutnya simak perkalian matriks 3 x 3.

 

Perkalian Matriks 3 x 3

Perkalian matriks 3 x 3 sedikit lebih rumit dari perkalian matriks 2 x 2. Hal ini dikarenakan ukuran matriks 3 x 3 mempunyai jumlah anggota lebih banyak. Matriks persegi dengan ukuran 3 x 3 memiliki 9 anggota, yang terbagi dalam 3 baris dan 3 kolom. Pada matriks dengan ukuran 3 x 3, setiap baris dan kolom terdiri atas 3 anggota. Konsep perkalian pada matriks dengan ukuran 3 x 3 sama dengan proses perkalian matriks dengan ukuran 2 x 2, hanya saja lebih rumit.

Perhatikan proses perkalian dua buah matriks yang masing-masing berukuran 3 x 3 pada gambar di bawah.

perkalian matriks 3 x 3

Apakah gambar di atas sudah cukup membuat jelas sobat idschool? Jika belum jelas dapat disimah contoh soal perkalian matriks 3 x 3 berikut untuk menambah pemahaman sobat idschool.

Contoh soal perkalian matriks 3 x 3

Tentukan hasil perkalian matriks 3 x 3 di bawah!

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

    \[ B = \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Jawab:

    \[ A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 1 \cdot 9 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3  & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 7 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 9 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 3 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 2 & 4 \cdot 7 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 1 \\ 7 \cdot 9 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 3 & 7 \cdot 8 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 2 & 7 \cdot 7 + 8 \cdot 4 + 9 \cdot 1 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 9 + 12 + 9  & 8 + 10 + 6 & 7 + 8 + 3 \\ 36 + 30 + 18 & 32 + 25 + 12 & 28 + 20 + 6 \\ 63 + 48 + 27 & 56 + 40 + 18 & 49 + 32 + 9 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 30  & 24 & 18 \\ 84 & 69 & 54 \\ 138 & 114 & 90 \end{pmatrix} \]

Baca Juga: Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks

Berikutnya adalah perkalian matriks dengan ukuran yang berbeda. Simak selengkapnya di bawah.

 

Perkalian Matriks (m x n) x (n x p)

Ulasan terakhir yang akan dibahas melalui halaman ini adalah perkalian dua matriks dengan ukuran berbeda. Konsep perkalian matriks masih sama dengan dua pembahasan sebelumnya, yaitu mengalikan antar elemen-elemen matriks pada baris dan kolom. Sebagai contoh, akan diulas perkalian matriks dengan ukuran 3 x 2 dan matriks dengan ukuran 3 x 2.

Perhatikan proses perkalian dua buah matriks yang masing-masing berukuran (3 x 3) x (3 x 2) pada gambar di bawah.

perkalian matriks

Contoh soal perkalian matriks (3 x 3) x (3 x 2)

    \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

    \[ B = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Jawab:

    \[ A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 &  1 \cdot 5 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2 &  4 \cdot 5 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 \\ 7 \cdot 6 + 8 \cdot 4 + 9 \cdot 2 &  7 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 1  \end{pmatrix} \]

    \[ = \begin{pmatrix} 6 + 8 + 6 &  5 + 6 + 3 \\ 24 + 20 + 12 &  20 + 15 + 6 \\ 42 + 32 + 18 & 35 + 24 + 9 \end{pmatrix} \]

    \[ =\begin{pmatrix} 20 &  14 \\ 56 &  41 \\ 92 & 68  \end{pmatrix} \]

Demikian proses perkalian matriks 3 x 3 dengan 3 x 2, diperoleh matriks dengan ukuran 3 x 2

Sekian pembahasan perkalian matriks 3 x 3, perkalian matriks 2 x 2, dan perkalian matriks (m x n) x (n x m). Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks