Perkalian Skalar Vektor

By | November 18, 2017

Operasi pekalian skalar vektor pada Matematika dibedakan menjadia dua yaitu perkalian skalar vektor secara aljabar dan perkalian skalar secara geometri. Perkalian skalar vektor yang akan dibahas meliputi perkalian skalar vektor, perkalian skalar dua vektor, dan perkalian skalar vektor yang membentuk suatu sudut tertentu. Perkalian skalar vektor dapat dipahami sebagai perubahan vektor awal dengan skala terentu. Perubahan panjang pada vektor yang terjadi bisa lebih panjang, lebih pendek, atau sama dengan vektor awal. Perkalian skalar vektor juga dapat mengubah arah vektor awal, bisa searah atau berlawanan. Nama lain dari perkalian skalar vektor atau perkalian skalar dua vektor matematika dapat diartikan juga sebagai kelipatan vektor.

Perkalian Skalar Vektor Vektor Ortogonal

 
 

Perkalian Skalar Vektor Secara Aljabar dan Geometri

Pembahasan berikut ini mengenai perkalian skalar dua vektor matematika yang akan dipisah menjadi dua pembahasan yaitu perkalian skalar vektor secara aljabar dan geometri.

Perkalian skalar vektor secara aljabar

Perkalian skalar vektor secara aljabar dilakukan dengan cara mengalikan semua unsur pada vektor dengan nilai pengalinya. Jika k adalah suatu konstanta real, \vec{a} adalah suatu vektor, dan \vec{b} merupakan hasil perkalian antara k dan \vec{a} maka persamaan \vec{b} dapat dituliskan dalam persamaan di bawah.

    \[ \vec{b} = k \cdot \vec{a} \]

Misalkan:

    \[ \vec{a} = 2x + 3y - 5z \]

    \[ k = 2\]

Perkalian vektor dengan skalar secara aljabar akan menghasilkan vektor b dengan persamaan seperti di bawah.

    \[ \vec{b} = k \vec{a} \]

    \[ \vec{b} = 2  (2x + 3y - 5z) \]

    \[ \vec{b} = 4x + 6y - 10z) \]

 
 
Perkalian Skalar Vektor Secara Geometri

Perkalian skalar vektor secara geometri tidak jauh berbeda dengan perkalian skalar vektor secara aljabar. Dalam perkalian skalar vektor secara geometri biasanya menggunakan simbol yang dituliskan dalam urutan/susunan bilangan real. Perkalian skalar vektor bisa menghasilkan perbesaran atau perkecilan vektor. Arah vektor pada perkalian skalar vektor bisa menjadi berlawanan arah atau tetap searah.

Misalkan terdapat k yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat \vec{a} yang meruakan sebuah vektor. Hasil perkalian skalar k dengan \vec{a} ditulis sebagai k \vec{a}. Penulisan k \vec{a} memiliki arti bahwa suatu vektor yang memiliki panjang k kali panjang vektor a (\vec{a}). Hasil perkalian ini memungkinkan terjadi untuk beberapa keadaan. Kemungkinan tersebut tergantung nilai skalar k yang menjadi faktor pengali, seperti terlihat pada daftar di bawah.

  1. Untuk k > 1 maka k \vec{a} searah dengan a dan diperpanjang.
    Perkalaian skalar vektor
  2. Untuk k = 1 maka k \vec{a} sama dengan a.
    Perkalian skalar vektor dengan k = 1
  3. Untuk 0 < k < 1 maka k \vec{a} searah dengan a dan diperpendek.
    Perkalian Skalar Vektor Ortogonal
  4. Untuk -1 < k < 0 maka k \vec{a} berlawanan arah dengan a dan diperpendek.
    Perkalian Skalar Vektor
  5. Untuk k = -1 maka k \vec{a} berlawanan arah dengan a dan panjangnya sama.
    Perkalian Skalar Vektor
  6. Untuk k< -1 maka k \vec{a} berlawanan arah dengan a dan diperpanjang.
    Perkalian Skalar Vektor
  7. Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku pada perkalian skalar vektor.
     

     
    Baca Juga: Perbandingan Vektor pada Sebuah Ruas Garis

     
     

    Perkalian Antara Dua Vektor

    Pembahasan selanjutnya adalah mengenai perkalian skalar vektor dengan vektor. Perkalian skalar dua vektor biasanya dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut. Operasi perkaliannya tidak susah, hanya seperti mengalikan secara aljabar biasa. Selanjutnya, simak persamaan yang merupakan perkalian antara dua vektor di bawah.

    1. Perkalian skalar dua vektor di ruang dimensi dua

          \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( x_{1}, y_{1} \right) \cdot \left( x_{2}, y_{2} \right) = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \]

    2. Perkalian skalar dua vektor di ruang dimensi tiga

          \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \cdot  \left( x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \]

          \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2} \]

     
    Berikut ini adalah daftar sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.
     
    Sifat-sifat perkalian dua vektor

     
     

    Perkalian Skalar Dua Vektor yang Membentuk Sudut

    Pada pembahasan di atas sudah di jabarkan mengenai pekalian skalar vektor secara aljabar dan geometri. Pada beberapa permasalahan, terdapat perkalian dua vektor yang membentuk suatu sudut. Rumus perkalian skalar dua vektor jika diketahui besar sudut antara kedua vektor dapat dinyatakan dalam persamaan berikut.

    Perkalian Dua Vektor yang membentuk dua sudut

     
     

    Contoh Soal dan Pembahasan

    Contoh Soal perkalian dua vektor
    Jika diketahui nilai \left| p \right| = 2, \left| q \right| = 3, dan \left| p - q \right| = \sqrt{7} maka nilai \left| p + q \right| adalah ….

        \[ \textrm{A.} \; \; \; \sqrt{13} \]

        \[ \textrm{B.} \; \; \; \sqrt{15} \]

        \[ \textrm{C.} \; \; \; \sqrt{17} \]

        \[ \textrm{D.} \; \; \; \sqrt{19} \]

        \[ \textrm{E.} \; \; \; \sqrt{21} \]

    Pembahasan:
    Mencari nilai 2 \vec{p} \vec{q}:

        \[ \left| \vec{p} - \vec{q} \right| = \sqrt{7} \]

        \[ \left| \vec{p} - \vec{q} \right|^{2} = 7 \]

        \[ \left| \vec{p} \right|\left| \vec{p} \right| - 2 \left| \vec{p} \right|\left| \vec{q} \right| + \left| \vec{q} \right|\left| \vec{q} \right| = 7 \]

        \[ 2 \cdot 2  - 2 \vec{p} \vec{q} + 3 \cdot 3 = 7 \]

        \[ 4  - 2 \vec{p} \vec{q} + 9 = 7 \]

        \[ 2 \vec{p} \vec{q} =  9 + 4 - 7 \]

        \[ 2 \vec{p} \vec{q} =  6 \]

     
    Mencari nilai \left| \vec{p} + \vec{q} \right|:

        \[ \left| \vec{p} + \vec{q} \right|^{2} = \left|\vec{p} \right|^{2} + \left|\vec{q} \right|^{2} + 2 \cdot \vec{p} \cdot \vec{q} \]

        \[ \left| \vec{p} + \vec{q} \right|^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 6  \]

        \[ \left| \vec{p} + \vec{q} \right|^{2} = 4 + 9 + 6  \]

        \[ \left| \vec{p} + \vec{q} \right|^{2} = 19  \]

        \[ \left| \vec{p} + \vec{q} \right| = \sqrt{19}  \]

    Jawaban: D

     
    Baca Juga: Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal