Persamaan Garis Singgung Elips

By | April 7, 2018

Garis singgung pada elips, artinya garis dan elips sama-sama melalui satu titik koordinat yang sama. Dalam kata lain, dapat juga diartikan dengan garis memotong elips pada satu titik. Ulasan materi yang akan dibahas melalui halaman ini adalah persamaan garis singgung elips. Kondisi yang sering dibahas biasanya ada tiga, yaitu mencari garis singgung, mencari garis singgung yang sejajar garis lain, dan mencari garis singgung yang tegak lurus dengan garis lain.

Selain itu, cara mencari persamaan garis singgung elips juga terbagi ke dalam dua kondisi. Pertama, persamana garis singgung dengan satu titik yang diketahui. Kedua, persamaan garis singgung elips dengan suatu nilai gradien m.

Untuk garis singgung yang sejajar atau tegak lurus dengan garis lain, konsepnya masih sama dengan mencari persamaan garis lurus. Dua buah garis akan sejajar jika memiliki nilai gradien yang sama. Sedangkan dua buah garis akan saling tegak lurus jika hasil kali gradiennya adalah -1.

Sebelum membahas persamaan garis singgung elips, akan disinggung sedikit tentang bentuk garis singgung pada elips. Berikut ini adalah gambar beberapa kondisi garis singgung elips.

persamaan garis singgung elips

Selanjutnya, akan diulas materi tentang persamaan garis singgung elips. Pembahasan akan dibedakan dalam dua kondisi. Pertama, akan diulas tentang cara mencari persamaan garis singgung elips dengan gradien m. Selanjutnya, akan dibahas persamaan garis singgung elips yang melalui suatu titik. Pada bagian akhir akan diberikan contoh soal persamaan garis singgung elips yang telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Elips

 

Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien m

Masuk ke pembahasan pertama yaitu persamaan garis singgung elips dengan gradien m. Cara mencari garis singgung pada elips dengan gradien m bergantung persamaan elips nya. Cara mencari garis singgung elips untuk persamaan elips dengan pusat O(0, 0) tentu akan berbeda dengan persamaan elips dengan pusat (p, q). Meskipun demikian, konsep yang digunakan untuk mencari garis singgung elips tersebut adalah sama. Bentuk rumusnya juga mirip sehingga mudah untuk dihafal (dipahami).

Berikut ini adalah kumpulan rumus yang digunakan untuk mencari persamaan garis singgung dengan gradien m.

Garis singgung elips dengan gradien m

Contoh peggunaan rumus umum persamaan garis singgung elips yang diberikan di atas dapat dilihat pada akhir bagian (pada bagian contoh soal dan pembahasan).

 

Persamaan Garis Singgung Elips Melalui Suatu Titik

Cara mencari persamaan garis singgung pada elips yang melalui suatu titik dibedakan kedalam lima persamaan. Cara menggunakan persamaan garis singgung tersebut tergantung dari bentuk persamaan elips yang diberikan pada soal. Kumpulan rumus yang digunakan untuk mencari persamaan garis singgung elips yang melalui titik (x_{1}, \; y_{1}) dapat dilihat pada tabel di bawah.

Garis singgung elips yang melalui suatu titik

Demikianlah rumus umum persamaan garis singgung pada elips. Selanjutnya akan diberikan contoh soal persamaan garis singgung elips dan pembahasannya.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Soal Persamaan Garis Singgung Elips

Persamaan garis singgung elips dengan persamaan x^{2} + 4y^{2} = 4 dan sejajar dengan garis y = x + 3 adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; y = x + 25 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  y = x + \sqrt{5} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  y = x + 1 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  y = x - 5 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  y = x + 5 \]

Jawab:

Persamaan elips x^{2} + 4y^{2} = 4 dapat juga ditulis seperti persamaan di bawah (bagi kedua ruas dengan 4).

    \[ x^{2} + 4y^{2} = 4 \]

    \[ \frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{4} = \frac{4}{4} \]

    \[ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \]

Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung elips dengan persamaan di atas yang sejajar dengan garis y = x + 3.

Gradien garis y = x + 3 adalah m = 1, jika belum paham cara mencari gradien dapat dilihat di sini. Selanjutnya, kita akan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips dengan gradien m untuk menentukan persamaan garis singgungnya.

Gradien garis yang akan dicari nilainya adalah m = 1, karena garis yang akan dicari sejajar dengan y = x + 3. Berdasarkan persamaan elips, diperoleh informasi bahwa a = 2 dan b = 1.

Sehingga, persamaan garis singgung elips yang sejajar dengan y = x + 3 adalah:

    \[ y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}} \]

    \[ y = 1 \cdot x \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1^{2} + 1^{2}} \]

    \[ y = x \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 1} \]

    \[ y = x \pm \sqrt{4 + 1} \]

    \[ y = x \pm \sqrt{5} \]

Diperoleh persamaan garis singgungnya adalah y = x + \sqrt{5} atau y = x - \sqrt{5}.

Jawaban: B

 

Contoh 2: Soal Persamaan Garis Singgung Elips

Persamaan garis singgung elips dengan persamaan

    \[ \frac{\left( x - 5 \right)^{2}}{28} + \frac{\left( y - 1\right)^{2}}{21} = 1 \]

dan melalui titik (9, 4) adalah ….

A.       x + y = 13
B.       x + y = 13
C.       x + y = 13
D.       x + y = 13
E.       x + y = 13

Pembahasan:

Persamaan garis singgung dengan pusat (p, q) dan melalui titik (x_{1}, y_{1}) adalah:

    \[ \frac{ \left( x - p \right) \left( x_{1} - p \right) }{a^{2}} + \frac{ \left( y - q \right) \left( y_{1} - q\right) }{b^{2}} = 1 \]

Sehingga, persamaan garis singgung elips untuk contoh soal persamaan garis singgung elips di atas adalah

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \left( x_{1} - 5 \right) }{28} + \frac{ \left( y - 1 \right) \left( y_{1} - 1\right) }{21} = 1 \]

Melalui titik (9, 4), maka:

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \left( 9 - 5 \right) }{28} + \frac{ \left( y - 1 \right) \left( 4 - 1\right) }{21} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \cdot 4 }{28} + \frac{ \left( y - 1 \right) \cdot 3 }{21} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 5 \right) \cdot 1 }{7} + \frac{ \left( y - 1 \right) \cdot 1 }{7} = 1 \]

    \[ \frac{ x - 5}{7} + \frac{ y - 1 }{7} = 1 \]

    \[ \frac{ x - 5 + y - 1}{7} = 1 \]

    \[ x - 5 + y - 1 = 7 \]

    \[ x + y = 7 + 5 + 1 \]

    \[ x + y = 13 \]

Jawaban: A

Sekian pembahasan materi persamaan garis singgung elips yang meliputi garis singgung elips dengan gradien m (jika yang diketahui nilai gradien garis) dan garis singgung elips yang melalui suati titik (jika diketahui titik yang dilewati garis/elips). Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.