Relasi dan Fungsi: Pengertian, Perbedaan, dan Contoh Soal

By | December 15, 2017

Secara sederhana, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Hubungan yang dimaksud di sini adalah hubungan antara daerah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain). Kedua jenis daerah akan dijelaskan kemudian. Sedangkan fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal tepat satu ke himpunan daerah kawannya. Perbedaan antara relasi dan fungsi terletak pada cara memasangkan anggota himpunan ke daerah asalnya.
 
Pada relasi, tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan. Aturan hanya terikat atas pernyataan relasi tersebut. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh mempunyai pasangan lebih dari satu atau boleh juga tidak memiliki pasangan.
 
Sedangkan pada fungsi, setiap anggota himpunan daerah asal dipasangkan dengan aturan khusus. Aturan tersebut mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal mempunyai pasangan dan hanya tepat satu dipasangkan dengan daerah kawannya.
 
Kesimpulannya, setiap relasi belum tentu fungsi, namun setiap fungsi pasti merupakan relasi. Penjelasan mengenai relasi dan fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.
 
Relasi dan Fungsi

 
Dalam pembahasan relasi dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. Ketiga daerah tersebut adalah daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range). Perbedaan ketiga daerah tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.
 

Domain, Kodomain, dan Range

 
Selanjutnya, mari simak pembahasan lebih lanjut mengenai relasi dan fungsi pada pembahasan di bawah.
 
Baca Juga: Sifat-sifat dan Contoh Soal Komposisi Fungsi
 
 

Relasi

Seperti yang telah dijelaskan secara singkat di atas, relasi dapat diartikan sebagai hubungan. Misalkan sebuah relasi menyatakan hubungan perkalian. Hasil relasi tersebut dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut x dan y dan dapat juga digambar pada bidang kartesius.
 
Cara menyatakan hasil relasi perkalian antara himpunan A dan B dapat dilihat pada contoh permasalahan di bawah.

    \[ A \; = \; \left \{ 1, \; 2, \; 3, \right \} \]

    \[ B \; = \; \left \{ 2, 3 \right \} \]

 
Cara menyatakan Relasi
 
Pembahasan selanjutnya adalah mengenai fungsi, simak dengan baik sammpai akhir ya…

 
 

Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau yang sering disebut juga dengan pemetaan masih termasuk dalam relasi. Suatu relasi disebut fungsi jika semua anggota himpunan daerah asal dipasangkan tepat satu ke daerah kawannya.

Simbol fungsi yang memetakan himpunan A ke B adalah

    \[ f: \; A \rightarrow B\]

 
Contoh pemasalahan pada fungsi:
Diketahui himpunan A dan B diberikan seperti di bawah.

    \[ A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \]

    \[ B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \} \]

Didefinisikan fungsi f: A \rightarrow B dengan f(x) = x + 5.
Tentukan hasil pemetaan dari x \in A oleh fungsi f, D_{f}, K_{f}, dan R_{f}!
 
Pembahasan:
Peta dari x \in A oleh fungsi f yaitu y = f(x):

    \[ f(0) = 0 + 5 = 5 \]

    \[ f(1) = 1 + 5 = 6 \]

    \[ f(2) = 2 + 5 = 7 \]

    \[ f(3) = 3 + 5 = 8 \]

    \[ f(4) = 4 + 5 = 9 \]

 
D_{f} = Daerah Asal

    \[ D_{f} = A = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \]

 
K_{f} = Daerah Kawan

    \[ K_{f} = B = \left \{ 0, 1, 2, ..., 10 \right \} \]

 
Daerah Hasil = R_{f}

    \[ D_{f} = A = \left \{5, 6, 7, 8, 9 \right \} \]

 
Macam-macam Fungsi
Sobat idschool pasti sudah mengenal berbagai persamaan dalam matematika bukan? Misalnya y = k, y = x + 3, dan lain sebagainya. Tidak semua persamaan dapat dikatakan sebagai fungsi. Beberapa macam persamaan yang termasuk fungsi dapat dilihat pada daftar di bawah.

  1. Fungsi Konstan
    Fungsi konstan memetakan setiap anggota domain ke kodomain pada bilangan k, sehingga daerah hasil/range nya hanya anggota k saja. Fungsi konstan dinyatakan dalam persamaan f : x \rightarrow k, dengan k adalah suatu konstanta. Gambar fungsi konstan dapat dilihat pada gambar di bawah.
     
    Fungsi Konstan
     

  2. Fungsi Identitas
    Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan anggota yang sama dari domain ke kodomain. Misalkan, anggota a pada domain dipasangkan dengan anggota a juga pada daerah kodomain. Dengan kata lain, semua unsur pada domain dipasangkan dengan dirinya sendiri pada daerah kodomain. Fungsi identitas dinyatakan dalam f: x \rightarrow x. Gambar fungsi identitas dapat dilihat pada gambar di bawah.
     
    Fungsi Identitas

  3.  

  4. Fungsi Linear
    Fungsi linear membentuk sebuah garis lurus dengan kemiringan tertentu. Fungsi linear dinyatakan dalam f: R \rightarrow R yang mengikuti aturan persamaan di bawah.

        \[ f(x) = mx + C \]

     
    Keterangan:
    m = gradien
    C = konstanta
     
    Gambar fungsi linear dapat dilihat pada gambar di bawah.
     

    Fungsi Linear

     

  5. Fungsi Kuadrat
    Fungsi kuadrat f: R \rightarrow R ditentukan oleh rumus f(x) = ax^{2} + bx + c, dengan a, b, c adalah konstanta dan a \neq 0. Grafik fungsi kuarat berupa parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah, tergantung persamaan yang dimiliki oleh f(x).

 
Sifat-sifat Fungsi

Fungsi dikelompokkan menjadi 3 (tiga) jenis yaitu fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut didasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga jenis tersebut dapat disimak pada penjelasan di bawah.

  1. Fungsi Injektif/Fungsi Into (Fungsi Satu-satu)
    Fungsi pertama yang akan dibahas adalah fungsi injektif atau sering disebut dengan fungsi into atau fungsi satu-satu. Fungsi f: A \rightarrow B dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.
     
    Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpsangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.
     
    Perhatikan gambar di bawah untuk melihat lebih detail mengenai perbedaannya.
     
    Fungsi Injektif (Satu-satu)
  2.  

  3. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
    Fungsi Surjekti atau onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih banyak dari anggota domain.
     
    Perhatikan gambar di bawah untuk menambah pemahan sobat idschool tentang sifat fungsi surjektif.
     
    Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
  4.  

  5. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
    Fungsi Bijektif merupakan gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan. Perhatikan gambar di bawah.
     
    Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

     
    Kebalikan dari fungsi f juga merupakan fungsi/pemetaan bukan?

Sekian pembahasan mengenai relasi dan fungsi, serta perbedaan dan contoh soal. Jika ada bagian yang kurang paham bisa tinggalkan pada kolom komentar di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat.

 
Baca Juga: Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi