Rumus Barisan Aritmetika dan Geometri

By | December 5, 2017

Jenis barisan dibedakan menjadi dua yaitu barisan bilangan aritmetika dan geometri. Dua jenis barisan bilangan ini memiliki ciri-ciri dan rumus yang berbeda. Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang rumus barisan aritmetika dan geometri, sebaiknya kita mengenal perbedaan dari kedua jenis barisan ini terlebih dahulu. Pada barisan aritmetika, susunan bilangan yang dibentuk antara satu bilangan ke bilangan berikutnya memiliki beda yang sama. Beda dapat diartikan sebagai selisih antara dua suku yang berurutan. Jika suatu barisan memiliki beda lebih dari nol (b > 0) maka barisan aritmetika tersebut merupakan barisan naik. Sebaliknya, jika bedanya kurang dari nol (b < 0) maka barisan aritmetika tersebut merupakan barisan turun. Sedangkan pada barisan geometri, susunan bilangan yang dibentuk antara satu bilangan ke bilangan berikutnya memiliki rasio yang sama. Rasio adalah perbandingan antara dua suku berurutan pada barisan geometri. Jika rasio lebih dari nol (r > 0) maka barisan tersebut merupakan barisan naik. Jika rasio kurang dari nol (r < 0) maka barisan tersebut merupakan barisan turun. Simak penjelasan lebih lanjut pada pembahasan di bawah.

 

Rumus pada Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika dapat diartikan sebagai susunan bilangan real yang membentuk pola tertentu. Sedangkan deret aritmetika merupakan penjumlahan dari barisan aritmetika. Ciri umum dari barisan aritmetika adalah memiliki beda yang sama dari satu bilangan ke bilangan berikutnya. Misalkan suku pertama dan suku ke dua dari suatu barisan aritmetika memiliki beda 8, suku-suku berikutnya juga akan memiliki beda 8. Salah satu contoh barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

    \[ 2, 10, 18, 26, ..., dst\]

Barisan di atas memiliki nilai beda sama dengan 8 (b = 8). Selanjutnya akan dibahas lebih jauh lagi tentang rumus dan karakter barisan dan deret aritmetika. Rumus barisan aritmetika yang akan dibahas pada halaman ini meliputi cara menentukan suku ke – n, suku tengah, jumlah n suku pertama, dan dilengkapi dengan teknik penggunaan rumus untuk menyelesaikan soal high order thinking. Oke, mari simak pembahasan lebih lanjut mengenai rumus pada barisan dan deret aritmetika.

 
Barisan Aritmetika
Perhatikan bentuk umum barisan aritmetika pada gambar di bawah.
 
Rumus Barisan Aritmetika dan Geometri
 
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika disebut beda (b). Rumus untuk menentukan beda pada suatu barisan aritmetika dinyatakan dalam persamaan di bawah.
 
beda barisan aritmetika
Suku ke – n suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui sebuah rumus. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika dinyatakan dalam rumus berikut.

 
Rumus suku ke-n barisan aritmetika

 

Keterangan:
    a: suku pertama
    b: beda
    U_{n}: suku ke-n
    n: bilangan bulat

 
Contoh soal menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
Diketahui barisan aritmetika:

    \[ 5, 4, 3, 2, ... \]

Tentukan Suku ke-12!
Pembahasan:
Berdasarkan deret aritmetika pada soal dapat diketahui bahwa

    \[ a = 5 \]

    \[ b = U_{2} - U_{1} = 4 - 5 = -1\]

    \[ n = 12 \]

Maka nilai suku ke-12 adalah

    \[U_{12} = a + (n-1)b \]

    \[U_{12} = 5 + (12 - 1) \cdot -1 \]

    \[U_{12} = 5 + 11 \cdot -1 \]

    \[U_{12} = 5 + -11 \]

    \[U_{12} = -6 \]

 
Selain itu, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk menentukan suku tengah dari suatu barisan aritmetika. Rumus suku tengah dari suatu barisan aritmetika dengan n suku adalah sebagai berikut.

 
Rumus suku tengah barisan aritmetika

 
Keterangan:
    a \; (U_{1}): suku pertama
    U_{t}: suku tengah
    U_{n}: suku ke-n
    n: bilangan bulat

 
Contoh soal menentukan suku tengah suatu barisan aritmetika.
Diketahui barisan aritmetika:

    \[ 3, 5, 7, ..., 15 \]

Tentukan suku tengahnya!

Berdasarkan barisan pada soal dapat diketahui bahwa,

    \[ a = 3 \]

    \[ b = U_{2} - U_{1} = 5 - 3 = 2 \]

    \[ U_{n} = 15 \]

Maka nilai suku tengahnya adalah

    \[ U_{t} = \frac{1}{2} \left(U_{1} + U_{n} \right) \]

    \[ U_{t} = \frac{1}{2} \left(3 + 15 \right) \]

    \[ U_{t} = \frac{1}{2} \cdot 18 \]

    \[ U_{t} = 9 \]

 
 
Deret Aritmetika
Barisan aritmetika menyatakan susunan bilangan berurutan u_{1}, \; u_{2}, \; ..., \; u_{n} dengan urutan tertentu. Sedangkan pada deret aritmetika, topik pembahasannya adalah mengenai jumlah suku-suku berurutan tersebut. Bentuk umum deret aritmetika adalah

    \[ U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n} \]

dengan u_{1}, \; u_{2}, \; ..., \; u_{n} merupakan barisan aritmetika.
 
Kumpulan rumus deret aritmatika dapat dilihat pada persamaan di bawah.
 

Rumus Deret Aritmetika dan Geometri

 
Contoh soal menentukan jumlah n suku pertama pada barisan aritmetika.
 
Tentukan jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21!
Pembahasan:
Berdasarkan deret tersebut dapat diperoleh informasi bahwa:

    \[ a = 3 \]

    \[ b = U_{2} - U_{1} = 5 - 3 = 2 \]

    \[ U_{n} = 21 \]

 
Mencari nilai n:

    \[ U_{n} = 21 \]

    \[ a + (n - 1)b = 21 \]

    \[ 3 + (n - 1)2 = 21 \]

    \[ 3 + 2n - 2 = 21 \]

    \[ 2n + 1 = 21 \]

    \[ 2n = 21 - 1 \]

    \[ 2n = 20 \]

    \[ n = \frac{20}{2} = 10 \]

 
Mencari jumlah n = 10 suku pertama dari deret aritmetika yang diberikan pada soal.

    \[ S_{n} = \frac{n}{2} \left( a + U_{n} \right) \]

    \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left( 3 + 21 \right) \]

    \[ S_{10} = 5 \cdot 24 \]

    \[ S_{10} = 120 \]

Jadi jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 3 + 5 + 7 + … + 21 adalah 120.

 
 

Rumus pada Barisan Geometri dan Deret Geometri

Materi terkait rumus barisan aritmetika dan geometri selanjutnya yang akan dibahas adalah rumus pada barisan dan deret geometri. Seperti penjelasan singkat sebelumnya, barisan geometri merupakan susunan bilangan yang memiliki nilai rasio sama antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Barisan geometri terbagi menjadi dua yaitu barisan geometri turun dan barisan geometri naik. Sebuah barisan geometri dikatakan sebagai barisan geometri naik jika memiliki nilai rasio lebih dari satu (r > 1). Sedangkan barisan geometri turun dibentuk oleh nilai rasio antara nol dan satu (0 < r < 1). Bentuk umum barisan geometri dapat dilihat pada gambar di bawah.

Barisan Geometri

 
 

Rumus Barisan Geometri

Suatu barisan U_{1}, \; U_{2}, \; ..., \; U_{n} disebut barisan geometri jika memiliki nilai rasio yang sama antar dua suku yang berurutan. Nilai rasio dapat diperoleh dari perbandingan dua suku yang berurutan. Cara menentukan rasio dari suatu barisan geometri dapat dilihat dari persamaan di bawah.
 
Rasio barisan geometri

 
Dalam barisan geometri terdapat rumus yang digunakan untuk menentukan nilai dari suatu suku ke – n. Rumus tersebut dinyatakan dalam persamaan di bawah.
 

Rumus suku ke n barisan geometri

 
Keterangan:
U_{n} = suku ke – n
a = suku pertama (U_{1})
r = rasio
n = bilangan bulat
 
Contoh soal dan pembahasan menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri.
Tentukan suku ke – 6 dari barisan geometri berikut!

    \[ 512, 256, 128, ..., 2 \]

Pembahasan:
Berdasarkan barisan bilangan pada soal dapat diperoleh informasi bahwa:

    \[ a = 512 \]

    \[ r = \frac{U_{n}}{U_{n-1}} = \frac{256}{512} = \frac{1}{2} \]

Suku ke – b dari barisan geometri tersebut adalah

    \[U_{6} = ar^{n-1}\]

    \[ U_{6} = 512 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6-1} \]

    \[ U_{6} = 512 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{5} \]

    \[ U_{6} = 512 \cdot \left( \frac{1}{32} \right) \]

    \[ U_{6} = 16 \]

 
 
Rumus lain yang tidak kalah penting untuk diketahui adalah rumus menentukan suku tengah dari barisan geometri. Rumus tersebut dapat dilihat berdasarkan persamaan di bawah.
 

Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

 
Keterangan:
U_{t} = suku tengah
U_{1} = suku pertama
U_{n} = suku ke – n
 

Contoh soal dan pembahasan menentukan suku tengah dari suatu barisan geomteri.
Tentukan nilai suku tengah dari barisan geometri di bawah!

    \[ 512, \; 256, \; 128, \; ..., \; 2\]

Pembahsan:
Mencari nilai n:

    \[ U_{n} = ar^{n - 1}\]

    \[ 2 = 512 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n - 1}\]

    \[ 2 = 512 \cdot \left( 2^{-1} \right)^{n - 1}\]

    \[ \frac{2}{512} = 2^{-\left( n - 1 \right) } \]

    \[ \frac{1}{256} = 2^{- n + 1 } \]

    \[ 2^{-8} = 2^{- n + 1 } \]

    \[ -8 = - n + 1 \]

    \[ n = 8 + 1 = 9 \]

 
Mencari nilai suku tengah:

    \[ U_{t} = \sqrt{U_{1} \cdot U_{n} } \]

    \[ U_{t} = \sqrt{U_{1} \cdot U_{9} } \]

    \[ U_{t} = \sqrt{ 512 \cdot 2 } \]

    \[ U_{t} = \sqrt{ 1.024 } = 32 \]

 
Jadi, suku tengah dari barisan geometri 512, 256, 128, …, 2 adalah 32.
Sobat idschool dapat melewatkan langkah mencari nilia n, karena langkah ini tidak bergitu penting dalam menentukan suku tengah. Sobat idschool dapat langsung menuju langkah menghitung nilai suku tengah dengan menggunakan rumus U_{t} = \sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}.

 
Baca Juga: Pengertian, Rumus, dan Sifat-sifat Notasi Sigma

 
 
Rumus Deret Geometri
Selanjutnya adalah pembahasan mengenai rumus deret geometri. Deret geometri menyatakan penjumlahan dari suku-suku yang menyusun suatu barisan geometri. Bentuk umum deret geometri dinyatakan sebagai berikut.

    \[ U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n} \]

Di mana susunan barisan U_{1}, U_{2}, U_{3}, ..., U_{n} membentuk barisan bilangan geometri. Untuk menyatakan jumlah n suku dari suatu barisan geometri dapat menggunakan rumus berikut.
 

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri

 
Keterangan:
S_{n}= jumlah n suku pertama dari barisan geometri
a= suku pertama (U_{1})
r= rasio
 
Contoh soal dan pembahasan mengenai jumlah n suku pertama barisan geometri.
Tentuka jumlah 8 suku pertama dari deret geometri berikut!

    \[ 2 + \; 4 + \; 8 + \; 16 + \; ... \]

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

    \[ a = 2 \]

    \[ r = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{4}{2} = 2 \]

Menghitung 8 suku pertama dari deret geometri yang diberikan pada soal.

    \[ S_{n} = \frac{a \left( r^{n} - 1 \right) }{r - 1} \]

    \[ S_{8} = \frac{2 \left( 2^{8} - 1 \right) }{2 - 1} \]

    \[ S_{8} = \frac{2 \left( 256 - 1 \right) }{ 1} \]

    \[ S_{8} = \frac{2 \cdot 255 }{ 1} = 510 \]

 
Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri tak berhingga dibedakan menjadi dua jenis, yaitu deret konvergen dan divergen. Deret konvergen adalah sebuah deret yang nilainya menuju suatu titik atau nilai tertentu. Ciri khas dari deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio kurang dari 1 (r < 1). Sedangkan deret divergen adalah sebuah deret yang nilanya tidak pernah menuju suatu titik atau bilangan tertentu. Ciri khusus deret konvergen adalah mempunyai nilai rasio lebih dari 1 ( r > 1 ). Rumus deret geometri tak berhingga dinyatakan dalam persamaan di bawah.

Rumus jumlah tak berhingga deret geometri

 
Selain rumus umum deret geometri tak berhingga di atas. Terdapat beberapa rumus umum deret geometri yang dapat dilihat pada tabel di bawah.
 

Rumus Umum Deret Geometri

 
Contoh soal dan pembahasan deret geometri tak berhingga.

 
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 meter dan memantul kembali dengan ketinggian \frac{4}{5} kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terjadi terus-menerus. Panjang seluruh lintasan bola adalah ….
    A.   64 meter
    B.   84 meter
    C.   128 meter
    D.   180 meter
    E.   196 meter
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

    \[ a = 20 \]

    \[ r = \frac{4}{5} \]

Mencari panjang lintasan bola:
Perhatikan gambar di bawah!

 
Panjang lintasan turun:

    \[ S_{\infty} = 20 + \frac{a}{1 - r} \]

    \[ S_{\infty} = 20 + \frac{\frac{4}{5} \times 20 }{1 - \frac{4}{5}} \]

    \[ S_{\infty} = 20 + \frac{ 16 }{ \frac{1}{5}} \]

    \[ S_{\infty} = 20 + 80 = 100 \]

 
Panjang lintasan naik:

    \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]

    \[ S_{\infty} = \frac{\frac{4}{5} \times 20 }{1 - \frac{4}{5}} \]

    \[ S_{\infty} = \frac{ 16 }{ \frac{1}{5}} = 80 \]

 
Panjang lintasan total adalah penjumlahan lintasan turun dan naik, yaitu 100 + 80 = 180 meter.
Jawaban: D
 
Sekian pembahasan mengenai rumus Rumus Barisan Aritmetika dan Geometri. Terimakasih sudah mengunjugi idschool.net, semoga bermanfaat. Baca Juga: Pembuktian Rumus Menggunakan Induksi Matematika