Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

By | March 7, 2018

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat dihitung menggunakan integral. Proses mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva tersebut melalui penggambaran kurva, menentukan batas integral, dan kemudian melakukan perhitungan integral. Akhir dari proses perhitungan integral tersebut menghasilkan nilai yang mewakili luas daerah. Pada kasus soal tertentu, cara tersebut dianggap lama karena ada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Untuk jenis soal tertentu, sobat idschool hanya perlu menggunakan rumus diskriminan dari persamaan kuadrat. Sehingga sobat idschool harus mengetahui apa itu diskriminan terlebih dahulu. Dan bagaimana mencari nilai diskriminan tersebut.

Diskriminan

Nilai diskriminan dari suatu persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menyelidiki banyaknya akar persamaan kuadrat. Apalah suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar berbeda, satu akar (akar kembar), atau tidak memiliki akar. Nilai diskriminan dapat memberikan informasi apakah suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan atau tidak. Simbol diskriminan diberikan dalam huruf d kapital, yaitu D.

Untuk persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0. Nilai diskriminan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan D = b2 – 4ac.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Persamaan nilai diskriminan di atas kemudian dapat digunakan untuk mencari nilai luas daerah yang dibatasi kurva. Bagaimana caranya? Simak langkah – langkahnya pada ulasan berikut ini.

Baca Juga: Aplikasi Integral – Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva dapat dihitung menggunakan integral. Prosesnya bisa dibilang cukup panjang dan rumit. Namun, ada rumus cepat yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva untuk jenis soal tertentu. Cara cepat ini berlaku untuk daerah yang dibatasi kurva persamaan kuadrat dan sumbu x.

Cara cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva menggunakan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat. Berikut ini adalah rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Rumus di atas diperoleh dengan menggunakan konsep limit dan integral. Kita akan mencoba menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva di atas pada tipe – tipe soal tertentu. Sebelumnya, kita akan mengerjakan contoh soal menghitung nilai luas yang dibatasi kurva dengan cara runut terlebih dahulu. Selanjutnya, kita akan membandingkan hasil keduanya.

Salah satu tipe soal yang dapat dikerjakan menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 1: Luas daerah yang dibatasi oleh y=x2 – 16 dan sumbu x adalah … satuan luas.

Contoh soal 1 di atas akan dikerjakan dengan dua cara. Pertama adalah menghitung luas daerah dengan integral. Selanjutnya cara kedua akan dihitung luas daerah menggunakan rumus cepat. Kemudian akan dibandingkan kedua hasilnya.

Menghitung luas daerah dengan integral

Pertama, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan cara runut.

Gambar dari persamaan kuadrat y = x2 – 16 terlebih dahulu. Kemampuan menggambar kurva persamaan kuadrat sangat diperlukan di sini. Berikut ini adalah sketsa gambar persamaan kuadrat yang diberikan pada soal.

luas daerah yang dibatasi kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Batas integralnya adalah – 4 dan 4.

Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 adalah seperti berikut.

    \[ L = \int_{-4}^{4} \left( x^{2} - 16 \right) dx \]

    \[ L = \left[ \frac{1}{3} x^{3} - 16x \right]_{-4}^{4} \]

    \[ L = \left( \frac{1}{3}(4)^{3} - 16(4) \right) - \left( \frac{1}{3}(-4)^{3} - 16(-4) \right) \]

    \[ L = \left( \frac{1}{3} \times 64 - 64 \right) - \left( \frac{1}{3} \times (- 64) + 64 \right) \]

    \[ L = \frac{64}{3} - 64 + \frac{64}{3} - 64 \]

    \[ L = \frac{128}{3} - 128 \]

    \[ L = - \frac{384}{3} + \frac{128}{3} \]

    \[ L = - \frac{256}{3} = - 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas}\]

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 16 dengan sumbu x adalah 52 satuan luas. Tanda negatif menunjukkan bahwa daerah luas berada di bawah sumbu x.

Selanjutnya, kita akan mencari luas daerah tersebut menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Baca Juga: Aplikasi Integral – Volume Benda Putar

Menghitung luas daerah dengan rumus cepat

Masih pada contoh soal yang sama. Cara kedua ini akan dikerjakan dengan rumus cepat.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah y = x2 – 16, sehingga diperoleh informasi nilai a = 1, b = 0, dan c = – 16.

Luas daerah yang dibatasi kurva tersebut dan sumbu adalah

    \[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} \]

    \[ L = \frac{b^{2} - 4ac}{6a^{2}} \]

    \[ L = \frac{\left( 0^{2} - 4(1)(-16) \right) \sqrt{0^{2} - 4(1)(-16)}}{6 \times 1^2} \]

    \[ L = \frac{64 \sqrt{64}}{6} \]

    \[ L = \frac{64 \times 8}{6} \]

    \[ L = \frac{512}{6} = 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas} \]

Selesai, diperoleh luas yang sama untuk kedua cara. Keduanya menunjukkan hasil perhitungan yang sama, bukan?

Bagaimana menurut sobat idschool? Mudah menggunakan cara pertama atau kedua? Namun perlu diperhatikan bahwa rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini hanya berlaku pada tipe – tipe soal tertentu. Cara ini tidak berlaku untuk semua tipe soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva. Simak contoh soal lain yang dapat digunakan menggunakan cara ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x2 – x – 6 dan sumbu x adalah adalah ….

Pembahasan:

Cara yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x2 – x – 6 menggunakan rumus cepat.

Mencari nilai diskriminan:

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

    \[ D = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot -6 \]

    \[ D = 1 + 24 = 25 \]

Mencari luas daerah yang dibatasi kurva:

    \[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \]

    \[ L = \frac{25 \sqrt{25}}{6 (1)^{2}} \]

    \[ L = \frac{25 \times 5}{6} \]

    \[ L = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6} \; \textrm{sat. luas} \]

Sekian pembahasan mengenai rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.