Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

By | March 7, 2018

Cara yang dapat digunakan untuk mengetahui lutas daerah yang dibatasi kurva adalah dengan munggunakan integral. Proses yang perlu dilakukan adalah menggambarkan kurva, menentukan batas integral, dan kemudian menentukan serta menghitung nilai integralnya. Pada kasus soal tertentu, cara tersebut dianggap lama karena ada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Utntuk jenis soal tertentu, sobat idschool hanya perlu menggunakan rumus diskriminan dari persamaan kuadrat untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Sebelumnya, perhatikan persamaan kuadrat dan rumus diskriman untuk mengingatkan kembali sedikit materi persamaan kuadrat.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Jika diberikan persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum ax^{2}+bx+c = 0 maka nilai diskriminannya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus D=b^{2} - 4ac. Selain dapat digunakan pada rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki suatu kurva apakah memotong sumbu x di dua titik, memotong sumbu x di suatu titik, atau tidak memotong sumbu x. Nilai diskriminan juga dapat digunakan untuk menyelidiki apakah gambar kurva terbuka ke atas atau ke bawah.

Rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagi berikut.

Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Rumus di atas diperoleh dengan menggunakan konsep limit dan integral. Kita akan mencoba menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva di atas pada tipe-tipe soal tertentu. Sebelumnya, kita akan mengerjakan contoh soal menghitung nilai luas yang dibatasi kurva dengan cara runut terlebih dahulu. Selanjutnya, kita akan membandingkan hasil keduanya.

Salah satu tipe soal yang dapat dikerjakan menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2 - 16 dan sumbu x adalah … satuan luas.

Cara I

Pertama, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan cara runut.

Gambar dari persamaan kuadrat y = x^{2} - 16 terlebih dahulu. Kemampuan menggambar kurva persamaan kuadrat sangat diperlukan di sini.

luas daerah yang dibatasi kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva ditunjukkan oleh bagian yang diarsir. Batas integralnya adalah -4 dan 4. Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva y = x^{2} - 16 adalah seperti berikut.

    \[ L = \int_{-4}^{4} \left( x^{2} - 16 \right)  dx \]

    \[ L = \left[ \frac{1}{3} x^{3} - 16x \right]_{-4}^{4} \]

    \[ L = \left( \frac{1}{3}(4)^{3} - 16(4) \right) - \left( \frac{1}{3}(-4)^{3} - 16(-4) \right) \]

    \[ L = \left( \frac{1}{3} \times 64 - 64 \right) - \left( \frac{1}{3} \times (- 64) + 64 \right) \]

    \[ L = \frac{64}{3} - 64 + \frac{64}{3} - 64 \]

    \[ L = \frac{128}{3} - 128 \]

    \[ L = - \frac{384}{3} + \frac{128}{3} \]

    \[ L = - \frac{256}{3} = - 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas}\]

Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva y = x^{2} - 16 dengan sumbu x adalah 52 satuan luas. Tanda negatif menunjukkan bahwa daerah luas berada di bawah sumbu x.

Selanjutnya, kita akan mencari luas daerah tersebut menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

 

Cara II

Kedua, akan dikerjakan soal yang diberikan diatas dengan rumus cepat cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah y = x^{2} - 16, sehingga diperoleh informasi nilai-nilai berikut.

    \[ a = 1 \]

    \[ b = 0 \]

    \[ c = - 16 \]

Sehingga, luas daerah yang dibatasi kurva tersebut adalah

    \[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} \]

    \[ L = \frac{b^{2} - 4ac}{6a^{2}} \]

    \[ L = \frac{\left( 0^{2} - 4(1)(-16) \right) \sqrt{0^{2} - 4(1)(-16)}}{6 \times 1^2} \]

    \[ L = \frac{64 \sqrt{64}}{6} \]

    \[ L =  \frac{64 \times 8}{6} \]

    \[ L = \frac{512}{6} = 85 \frac{1}{3} \; \textrm{sat. luas} \]

Selesai, diperoleh luas yang sama untuk kedua cara. Bagaimana menurut sobat idschool? Tapi ingat rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini hanya berlaku pada tipe-tipe soal tertentu, tidak berlaku untuk semua tipe soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Contoh lain untuk tipe soal yang dapat menggunakan rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi integral adalah sebagai berikut.

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x^{2} - x - 6 adalah ….

Kita akan langsung menghitung luas daerah yang dibatasi kurva f(x) = x^{2} - 2x + 1 menggunakan rumus cepat.

Mencari nilai determinan

    \[ D = b^{2} - 4ac \]

    \[ D = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot -6 \]

    \[ D = 1 + 24 = 25 \]

Mencari luas daerah yang dibatasi kurva:

    \[ L = \frac{D \sqrt{D}}{6a^{2}} \]

    \[ L = \frac{25 \sqrt{25}}{6 (1)^{2}} \]

    \[ L = \frac{25 \times 5}{6} \]

    \[ L = \frac{125}{6} = 20 \frac{5}{6} \; \textrm{sat. luas} \]

Catatannya adalah, rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva ini dapat digunakan jika diketahui suatu persamaan kuadrat dan luas daerah yang akan dicari dibatasi oleh persamaan kuadrat tersebut dan sumbu x.

Sekian pembahan mengenai rumus cepat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Pemfaktoran Bentuk Aljabar