Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sin, Cos, dan Tan

By | November 7, 2017

Fungsi dari Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus, Cosinus, dan Tangen digunakan untuk menentukan niali sudut yang tidak ada dalam sudut istimewa. Sebelumnya, sobat pasti sudah tahu bagaimana cara menentukan nilai sudut istimewa. Ada dua cara yang digunakan untuk memudahkan kita mengingat nilai dari sudut istimewa. Cara pertama adalah menggunakan grafik fungsi sinus atau grafik gungsi cosinus. Cara kedua adalah mengggunakan rumus identitas trigonometri. Tabel lengkap nilai trigonometri dapat dilihat pada halaman ini. Sekerang, mari kita simak rumus jumlah dan selisih dua sudut sinus dan cosinus beserta pembuktiannya.

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

 
 

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Cosinus

Rumus Jumlah Sudut Cosinus
 

Rumus Jumlah Dua Sudut Cos
 
Bukti:
Perhatikan gambar berikut!
 
Pembuktian Rumus Jumlah Sudut Cos

 
Titik koordinat A dan B di atas diperoleh berdasarkan fungsi sinus dan cosinus. Selanjutnya perhatikan titik M yang ditransformasi dengan besar sudut putar \beta dan sudut pusat O dari titik A. Dan perhatikan titik N yang ditransformasi dengan besar sudut putar - \beta dan sudut pusat O dari titik P. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.
 

 
 
INGAT!!!

    \[ cos (-\alpha) = cos \alpha \]

    \[ sin (-\alpha) = - sin \alpha \]

 
Persamaan 1: Menghitung jarak P(1,0) ke M (cos ( \alpha + \beta), sin ( \alpha + \beta))

    \[ \left| PM \right| = \sqrt{\left( x_{P} - x_{M} \right)^{2} + \left( y_{P} - y_{M} \right)^{2}}\]

    \[ \left| PM \right| = \sqrt{\left( 1 - cos \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2} + \left( 0 - sin \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2}}\]

    \[ \left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + cos^{2} \left( \alpha + \beta \right) + sin^{2} \left( \alpha + \beta \right)}\]

    \[ \left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + 1}\]

    \[ \left| PM \right| = \sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)}\]

 
Persamaan 2: Menghitung jarak A (cos \alpha, sin \alpha) ke N (cos \beta, -sin \beta)

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( x_{A} - x_{N} \right)^{2} + \left( y_{A} - y_{N} \right)^{2}}\]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha - (-sin \beta) \right)^{2}} \]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha + sin \beta \right)^{2}} \]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha - 2cos \alpha cos \beta + cos^{2} \beta + sin^{2} \alpha + 2sin \alpha sin \beta + sin^{2} \beta} \]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha + cos^{2} \beta + sin^{2} \beta} +  - 2cos \alpha cos \beta +  2sin \alpha sin \beta \]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{1 + 1 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

    \[ \left| AN \right| = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

 
Secara geometri, persamaan 1 sama dengan persamaan 2, sehingga:

    \[ \left| PM \right| = \left| AN \right|\]

    \[ \sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)} = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

    \[ 2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) = 2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta \]

    \[ - 2cos \left( \alpha + \beta \right) =  - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta \]

    \[ cos \left( \alpha + \beta \right) =  cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \]

Terbukti

 
 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Jumlah Sudut Cosinus
Tentukan nilai cos 75^{o}!
Pembahasan:

    \[ cos \; 75^{o} = cos \left( 45^{o} + 30^{o} \right) \]

    \[ cos \; 75^{o} = cos \; 45^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 45^{o} \cdot sin \; 30^{o} \]

    \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \]

    \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2} \]

    \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

 
Rumus Selisih Sudut Dua Cosinus
 
Rumus Selisih Dua Sudut Cos

 
Pembuktian rumus di atas dapat diperoleh dengan memanfaatkan rumus jumlah sudut cosinus yang telah kita buktikan terlebih dahulu. Caranya adalah dengan mengubah sudut \beta menjadi sudut - \beta. Untuk lebih jelasnya lihat langkah pembuktian di bawah.
 
Bukti:

    \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \left( \alpha +  (- \beta) \right) \]

    \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos (- \beta) - sin \alpha \cdot sin (- \beta) \]

    \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot -sin \beta \]

    \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \; cos \beta + sin \alpha \; sin \beta \]

Terbukti

 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Selisih Dua Sudut Cosinus
Tentukan nilai cos 75^{o}!
Pembahasan:

    \[ cos \; 105^{o} = cos \left( 135^{o} - 30^{o} \right) \]

    \[ cos \; 105^{o} = cos \; 135^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 135^{o} \cdot sin \; 30^{o} \]

    \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \]

    \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2} \]

    \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

 
 

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus

Rumus Jumlah Dua Sudut Sinus
 
Rumus Jumlah Dua Sudut Sin

 
Bukti:

    \[ sin \left( \alpha + \beta  \right) = cos \left( 90^{o} - (\alpha + \beta) \right) \]

    \[ sin \left( \alpha + \beta  \right) = cos \left( (90^{o} - \alpha) - \beta \right) \]

    \[ sin \left( \alpha + \beta  \right) = cos (90^{o} - \alpha) \cdot cos \beta + sin (90^{o} - \alpha) \cdot sin \beta \]

    \[ sin \left( \alpha + \beta  \right) = sin \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; sin \beta \]

 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Jumlah Sudut Sinus
Tentukan nilai dari sin 105^{o} cos 75^{o} + cos 105^{o} sin 75^{o}!
Pembahasan:

    \[ sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (105^{o} + 75^{o}\]

    \[ sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (180^{o}) = 0\]

 
Rumus Selisih Dua Sudut Sinus
 
Rumus Selisih Dua Sudut Sin

 
Bukti:

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = sin \left( \alpha + (- \beta)  \right) \]

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = cos \left( 90^{o} - (\alpha + (- \beta)) \right) \]

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = cos \left( (90^{o} - \alpha) + \beta) \right) \]

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = cos \left( (90^{o} - \alpha) + \beta) \right) \]

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = cos (90^{o} - \alpha) \cdot cos \beta - sin (90^{o} - \alpha) \cdot sin \beta \]

    \[ sin \left( \alpha - \beta  \right) = sin \; \alpha \; cos \; \beta -  cos \; \alpha \; sin \; \beta \]

 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Selisih Sudut Sinus
Tentukan nilai dari sin 105^{o} cos 75^{o} + cos 105^{o} sin 75^{o}!
Pembahasan:

    \[ sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (105^{o} - 75^{o}\]

    \[ sin 105^{o} cos 75^{o} - cos 105^{o} sin 75^{o} = sin (30^{o}) = \frac{1}{2} \]

 
 

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Tangen

Rumus Jumlah Sudut Tangen
 
Rumus Jumlah Dua Sudut Tan

 
Bukti:

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}\]

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{sin \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; sin \beta}{cos \alpha \; cos \beta - sin \alpha \; sin \beta}\]

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot cos \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; \frac{sin \beta}{cos \beta} \cdot cos \beta}{cos \alpha \; cos \beta - \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \cdot cos \alpha \; \frac{sin \beta}{cos \beta} \cdot cos \beta} \]

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{tan \alpha \; cos \alpha \; cos \beta + cos \alpha \; tan \beta \; cos \beta}{cos \alpha \; cos \beta - tan \alpha \; cos \alpha \; tan \beta \; cos \beta }\]

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{cos \alpha \; cos \beta \left( tan \alpha + tan \beta \right)}{cos \alpha \; cos \beta \left( 1 - tan \alpha \; tan \beta \right)} \]

    \[ tan(\alpha + \beta ) = \frac{tan \alpha + tan \beta }{ 1 - tan \alpha \; tan \beta} \]

Terbukti

 
Contoh perhitungan jumlah sudut Tangen
Diketahui:

    \[ tan \; \beta \; = \; \frac{5}{4}\]

    \[ \left( \alpha + \beta \right) = 315^{o} \]

Maka nilai tan\; \alpha adalah ….

    \[ A. \; \; \; 9\]

    \[ B. \; \; \; \frac{9}{2} \]

    \[ C. \; \; \; 3 \]

    \[ D. \; \; \; \frac{9}{4} \]

    \[ E. \; \; \; \frac{9}{7} \]

 
Pembahasan:

    \[ tan \; (\alpha + \beta) = \frac{tan \; \alpha + tan \; \beta}{1-tan \; \alpha tan \; \beta} \]

    \[ tan \; 315^{o} = \frac{tan \; \alpha + \frac{5}{4}}{1- tan \; \alpha \cdot \frac{5}{4}} \]

    \[ -1 = \frac{tan \; \alpha + \frac{5}{4}}{1- \frac{5}{4}tan \; \alpha} \]

    \[ -1\left(1- \frac{5}{4}tan \; \alpha \right) = tan \; \alpha + \frac{5}{4} \]

    \[ -1+ \frac{5}{4}tan \; \alpha = tan \; \alpha + \frac{5}{4} \]

    \[ \frac{5}{4}tan \; \alpha - tan \; \alpha =  \frac{5}{4} + 1 \]

    \[ \frac{1}{4}tan \; \alpha =  \frac{9}{4} \rightarrow tan \; \alpha = 9 \]

 
Jawaban: A

 
Rumus Selisih Sudut Tangen
 
Rumus Selisih Dua Sudut Tan

 
Bukti:

Dengan menggunakan rumus jumlah sudut tangen yang telah di buktikan sebelumnya, pembuktian rumus selisih sudut tangen dapat diperoleh dengan mengganti sudut \beta menjadi - \beta.

    \[ tan(\alpha - \beta ) = tan(\alpha + (-\beta)) \]

    \[ tan(\alpha - \beta ) = \frac{tan \alpha + tan (-\beta)}{1 - tan \alpha tan (-\beta) } \]

    \[ tan(\alpha - \beta ) = \frac{tan \alpha - tan \beta}{1 + tan \alpha tan \beta } \]

Terbukti

 
Contoh perhitungan selisih sudut Tangen
Jika diketahui tan 35^{o} = 0,7 dan tan 72^{o} = 3,08, tentukan nilai tan 107^{o}!
Pembahasan:

    \[tan 107^{o} = \frac{tan 35^{o} + tan 72^{o}}{1- tan 35^{o} \; tan 72^{o}}\]

    \[tan 107^{o} = \frac{0,7 + 3,08}{1- 0,7 \cdot3,08}\]

    \[tan 107^{o} = \frac{3,78}{-1,156} = 3,2699 \]

 
Sekina, materi mengenai rumus jumlah dan selisih dua sudut sin, cos, dan tan. Semoga Bermanfaat!