Rumus pada Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi )

By | November 22, 2017

Transformasi dapat diartikan sebagai perubahan. Sehingga, transformasi geometri dapat didefinisikan sebagai perpindahan benda dalam ruang lingkup geometri. Di bangku SMA, materi transformasi geometri diberikan saat kelas XII. Dalam pembahasan di halaman ini, penjabaran yang akan diuraikan meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Materi yang akan dibahas meliputi ilustrasi perubahan dan rumus transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dilatasi.

Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan hasil transformasi tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dahulu. Meskipun begitu, ilustrasi gambar tentang transformasi juga dapat memberikan tambahan pemahaman buat sobat idschool. Untuk itu, mari simak pembahasan mengenai translasi, refleksi, rotasi, dan dilatai pada penjabaran materi di bawah.

Baca Juga: Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

 

Translasi (Pergeseran)

Materi pertama tentang rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Translasi pada Transformasi Geometri

 
 

Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.

Rumus pada Pencerminan

 
Selanjutnya, mari perhatikan uraian matriks transformasi untuk tiap jenisnya.

  1. Pencerminan terhadap sumbu x
     
    Transformasi Geometri Refleksi
  2.  

  3. Pencerminan Terhadap Sumbu y
     
    Rumus pencerminan terhadap sumbu y
  4.  

  5. Pencerminan terhadap Garis y = x
     
    Rumus pencerminan terhadap garis y = x
  6.  

  7. Pencerminan terhadap Garis y = - x
     
    Transformasi Geomteri Refleksi terhadap garis y = -x
  8.  

  9. Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)
     
    Rumus pencerminan terhadap titik asal
  10.  

  11. Pencerminan terhadap Garis x = h
     
    Rumus pencerminan terhadap garis x = h
  12.  

  13. Pencerminan terhadap Garis y = k
     
    Transformasi geometri

Baca Juga: Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks

 

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar \alpha disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah - \alpha. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi. Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135^{o} dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.

Transformasi Geometri Rotasi

Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukakn hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.

  1. Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar \alpha
     
    Rumus rotasi dengan pusat O
  2.  

  3. Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar \alpha
     
    Rumus Rotasi dengan sudut putar P
  4.  

  5. Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar \alpha kemudian sebesar \beta
     
    Rotasi dua sudut dengan pusat O
  6.  

  7. Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar \alpha kemudian sebesar \beta
     
    Rotasi dua sudut dengan pusat P

 
 

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda. Ukuran benda dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.

  1. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m
     
    Rumus dilatasi pusat O
  2.  

  3. Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m
     
    Rumus dilatasi dengan pusat P

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Translasi
Hasil translasi itik P_{1}(3, -2) oleh T_{1} dilanjutkan dengan T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} menghasilkan titik P_{2}(8, 7). Komponen translasi dari T_{1} yang sesuai adalah . . ..

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Pembahasan:
Misalkan

    \[ T_{1} =  \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]

Diketahui:

    \[ T_{2} =  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Maka

    \[ T_{2} \bullet T_{1} =  \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix} \]

 
Perhatikan proses translasi berikut.
 
Contoh soal dan pembahasan translasi

 
Mencari nilai a:

    \[ 3 + a + 2 = 8 \]

    \[  a + 5 = 8 \]

    \[  a  = 8 - 5 = 3 \]

 
Mencari nilai b:

    \[ -2 + b + 1 = 7 \]

    \[ b - 1 = 7 \]

    \[ b = 7 + 1 = 8 \]

 
Jadi, nilai translasi dari T_{1} adalah

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Jawaban: B

 

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x - y - 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} adalah …

    \[ \textrm{A.} \; \; \; -2x - 7y -11 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \;  2x + 7y - 11 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \;  -2x - 7y + 11 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2y - 7x + 11 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x - 7y + 11 = 0 \]

 
Pembahasan:
Pencerminan terhadap garis y = x adalah:
Contoh soal dan pembahasan refleksi
Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x' = y dan y' = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x - y - 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

    \[ 3x - y -11 = 0 \]

    \[ 3y' - x'  - 11 = 0 \]

    \[  - x'  + 3y'- 11 = 0 \]

 
Selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'  \\ y'  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y'  \\ -x' + y'  \end{pmatrix} \]

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

    \[ -3x' + 2y' = x'' \]

    \[ -x' + y' = y''  \]

 
Mencari nilai x':
Metode eliminasi variabel

 
Mencari nilai y':
Metode eliminasi variabel

 
Subtitusi hasil x' dan y' di atas pada persamaan - x'  + 3y'- 11 = 0.

    \[ -x' + 3y' - 11 = 0 \]

    \[ -\left( 2y'' - x'' \right)  + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0 \]

    \[ -2y'' +  x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0 \]

    \[ -2x'' + 7y'' - 11 = 0 \]

    \[ 2x'' - 7y'' + 11 = 0 \]

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x - y - 11 = 0 adalah 2x - 7y + 11 = 0.
Jawaban: E

 
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi
Hasil pencerminan garis x - 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R\left[ O(0,0), \; 90^{o}\right] adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 2x - y - 4 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x - 2y - 4 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x - 2y - 2 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2x - y + 2 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x - y - 4 = 0 \]

 
Pembahasan:
Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

 
Sehingga diperoleh x' = -x dan y' = y. Selanjutnya, substitusikan kedua nilai yang diperolah pada persamaan x - 2y - 2 = 0.

    \[ x - 2y - 2 = 0 \]

    \[ -x' - 2y' - 2 = 0 \]

 
Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90^{o} yang berpusat di O(0,0):

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix} \]

 
Substitusi nilai x' = y'' dan y' = - x'' pada persamaan -x' - 2y' - 2 = 0, akan diperoleh

    \[ -x' - 2y' - 2 = 0 \]

    \[ -y'' - 2(-x'') - 2 = 0 \]

    \[ -y'' + 2x'' - 2 = 0 \]

    \[ 2x'' - y'' + 2 = 0 \]

Jadi, hasil pencerminan garis x - 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R\left[ O(0,0), \; 90^{o}\right] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

 
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi
Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a - b adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 15 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; 11 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 7 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 4 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2 \]

 
Pembahasan:
Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

    \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3b - 2 \end{pmatrix} \]

Sehingga diperoleh nilai

    \[ a = 8 \]

    \[ 3b - 2 = 10 \rightarrow 3b = 12 \rightarrow b = 4 \]

Jadi, nilai a - b = 8 - 4 = 4.
Jawaban: C

 

Oke, sekian pembahasan mengenai rumus pada transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi, Semoga bermanfaat, terimakasih sudah mengunjungi idschool.net

Baca Juga: Komposisi transformasi geometri dengan matriks