Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi Sin dan Cos

By | November 10, 2017

Hola sobat idschool, terimakasih sudah berkunjung di halaman rumus perkalian sinus dan cosinus. Materi mengenai rumus perkalian sinus dan cosinus merupakan bagian dari bab trigonometri yang dipelajari di kelas XI. Seperti rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus fungsi trigonometri sudut rangkap, dan rumus fungsi trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus juga digunakan untuk membantu menentukan nilai fungsi trigonometri (khusunya pada sudut tidak istimewa) tanpa alat bantu seperti tabel atau kalkulator. Meskipun rumusnya terlihat panjang dan rumit, namun ada cara yang digunakan untuk menghafal rumus-rumus di sini. Cara untuk menghafal rumusnya akan dibahas pada penjabaran setiap rumus yang akan dijelaskan di bawah. Bukti untuk memperoleh rumus juga akan disertakan untuk menambah pemahaman sobat idschool mempelajari rumus perkalian sinus dan cosinus. Oke, berikut akan disampaikan keempat rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi sinus dan cosinus terlebih dahulu. Pejabaran tiap rumus akan dibahas pada setiap sub-bab.


 
Baca Juga: Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Cosinus
 
 

Rumus Sin Jumlah

Rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi sinus dan cosinus pertama yang akan dibahas adalah rumus sin jumlah. Rumus sin jumlah digunakan ketika sudut hasil jumlah atau slisihnya merupakan sudut istimewa. Contohny adalah dua sudut tidak istimewa seperti 75^{o} dan 15^{o}. Hasil jumlah 75^{o} dan 15^{o} adalah 90^{o}, sedangkan selisihnya adalah 60^{o}. Keduanya (jumlah dan selisih sudut) merupakan sudut istimewa. Dengan demikian, sobat dapat memanfaatkan rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi sinus dan cosinus untuk menyelesaikan soal. Meskipun rumusnya terlihat panjang, namun cara yang dapat digunakan untuk menghafal rumusnya. Cara menghafal rumus sin jumlah dapat menggunakan kalimat: sin jumlah sama dengan dua sin setengah jumlah cos setengah selisih.

Rumus Penjumlahan Fungsi Sin

 
Bukti:
Pada pembahasan rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus, sudah terbukti bahwa:

    \[  sin \; \left( A + B \right) + sin \; \left( A - B \right) = 2 \ cdot sin \; A \cdot cos \; B \]

Misalkan:

    \[ \alpha = A + B  \]

    \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

    \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

    \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, \alpha, dan \beta pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

    \[  sin \; \alpha + sin \; \beta \;  = 2 \ cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti

 
Contoh soal dan pembahasan rumus sin jumlah.
Diketahui besar sudut \alpha = 105^{o} dan \beta = 15^{o}. Nilai sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{6} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{\sqrt{3}}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{\sqrt{5}}{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{\sqrt{6}}{2} \]

 
Pembahasan:

    \[ sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right) \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(90^{o} \right) \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \; sin \; 60^{o} \; cos \; 45^{o} \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Jawaban: E

 
 

Rumus Sin Selisih

Penjabaran rumus ke dua yang akan dibahas adalah rumus sin selisih. Cara yang digunakan untuk menghafal rumus sin selisih sama seperti cara menghafal rumus sin jumlah, yaitu melalui sebuah kalimat. Kalimat tersbut adalah sin selisih sama dengan dua cos setengah jumlah sin setengah selisih. Persamaan rumus sin selisih dapat dilihat pada gambar di bawah.

Rumus Selisih Fungsi Sin

 
Bukti:
Pada pembahasan rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus, sudah terbukti bahwa:

    \[ sin \; \left( A + B \right) - sin \; \left( A - B \right) = 2 \ cdot cos \; A \cdot sin \; B \]

Misalkan:

    \[ \alpha = A + B  \]

    \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

    \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

    \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, \alpha, dan \beta pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

    \[ sin \; \alpha - sin \; \beta = 2 \ cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti
 
Baca Juga: Rumus Trigonometri Sudut Pertengahan
 
Contoh soal dan pembahasan rumus sin selisih.
Diketahui besar sudut \alpha = 105^{o} dan \beta = 15^{o}. Nilai sin \; 105^{o}  \; + \; sin \; 15^{o} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{6} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{\sqrt{3}}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{\sqrt{5}}{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{\sqrt{6}}{2} \]

 
Pembahasan:

    \[ sin \; 105^{o}  \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right) \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(90^{o} \right) \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \; cos \; 60^{o} \; sin \; 45^{o} \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; - \; sin \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \]

    \[ sin \; 105^{o}  \; - \; sin \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Jawaban: B
 
 

Rumus Cos Jumlah

Penjabaran yang ketiga adalah rumus cos jumlah. Penggunaannya hampir sama dengan kedua rumus yang telah dijabarkan sebelumnya. Kalimat untuk mengafal rumus cos jumlah adalah cos jumlah sama dengan dua cos setengah jumlah cos setengah selisih.

Rumus Penjumlahan Fungsi Sin

 
Bukti:
Pada pembahasan rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus, sudah terbukti bahwa:

    \[ cos \; \left( A + B \right) + cos \; \left( A - B \right) = 2 \ cdot cos \; A \cdot cos \; B \]

Misalkan:

    \[ \alpha = A + B  \]

    \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

    \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

    \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, \alpha, dan \beta pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

    \[ cos \; \alpha + cos \beta = 2 \ cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti

 
Contoh soal dan pembahasan rumus cos jumlah.
Diketahui besar sudut \alpha = 105^{o} dan \beta = 15^{o}. Nilai cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{6} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{\sqrt{3}}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{\sqrt{5}}{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{\sqrt{6}}{2} \]

 
Pembasan:

    \[ cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right) \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; cos \frac{1}{2} \left(90^{o} \right) \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \; cos \; 60^{o} \; cos \; 45^{o} \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Jawaban: B

 
 

Rumus Cos Selisih

Selanjutnya adalah penjabaran mengenai rumus cos selisih. Kalimat yang digunakan untuk menghafal rumus cos selisih adalah cos selisih sama dengan min dua sin setengah jumlah sin setengah selisih. Bentuk rumus cos selisih dapat dilihat pada gambar di bawah.

 
Bukti:
Pada pembahasan rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus, sudah terbukti bahwa:

    \[ cos \; \left( A + B \right) - cos \; \left( A - B \right) = -2 \ cdot sin \; A \cdot sin \; B  \]

Misalkan:

    \[ \alpha = A + B  \]

    \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

    \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

    \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, \alpha, dan \beta pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

    \[ cos \; \alpha - cos \; \beta = -2 \ cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)  \]

Terbukti
 
Contoh soal dan pembahasan rumus cos selisih.
Diketahui besar sudut \alpha = 105^{o} dan \beta = 15^{o}. Nilai cos \; 105^{o}  \; + \; cos \; 15^{o} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; -\frac{\sqrt{2}}{6} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; -\frac{\sqrt{3}}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; -\frac{\sqrt{5}}{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; -\frac{\sqrt{6}}{2} \]

 
Pembasan:

    \[ cos \; 105^{o}  \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \frac{1}{2} \left( 105^{o} + 15^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(105^{o} - 15^{o} \right) \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \frac{1}{2} \left( 120^{o} \right) \; sin \frac{1}{2} \left(90^{o} \right) \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \; sin \; 60^{o} \; sin \; 45^{o} \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; - \; cos \; 15^{o} = -2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \]

    \[ cos \; 105^{o}  \; - \; cos \; 15^{o} = - \frac{1}{2} \sqrt{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \]

Jawaban: E

 
Sekian, pembahasan mengenai rumus penjumlahan dan penguran fungsi sinus dan cosinus. Semoga bermanfaat dan terimakasih sudah berkunjung di idschool.net