Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri Sinus dan Cosinus

By | November 9, 2017

Hola sobat idschool, terimakasih sudah berkunjung di halaman rumus perkalian sinus dan cosinus. Materi mengenai rumus perkalian sinus dan cosinus merupakan bagian dari bab trigonometri yang dipelajari di kelas XI. Seperti rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus fungsi trigonometri sudut rangkap, dan rumus fungsi trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus juga digunakan untuk membantu menentukan nilai fungsi trigonometri (khusunya pada sudut tidak istimewa) tanpa alat bantu seperti tabel atau kalkulator. Meskipun rumusnya terlihat rumit, sebenarnya ada cara yang digunakan untuk menghafal rumus-rumus di sini. Caranya akan dibahas pada penjabaran setiap rumus yang akan dijelaskan di bawah. Bukti untuk memperoleh rumus juga akan disertakan untuk menambah pemahaman sobat idschool mempelajari rumus perkalian sinus dan cosinus. Oke, berikut akan disampaikan keempat rumus perkalian sinus dan cosinus terlebih dahulu. Pejabaran tiap rumus akan dibahas pada setiap sub-bab.

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
 

Baca Juga: Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

 

Rumus Sin dikali Sin

Penjabaran rumus perkalian sinus dan cosinus yang pertama akan dibahas adalah perkalian dua sudut sinus. Ada cara yang dapat digunakan untuk menghafal rumus perkalian dua sudut sinus. Cara tersebut adalah menghafal rumus perkalian dua sudut sinus menggunakan kalimat min dua sin sin sama dengan cos jumlah dikurang cos selisih. Bentuk rumus perkalian sin dikali sin adalah sebagai berikut.

Rumus Perkalian Sinus dan Sinus

 
Bukti:
Pembuktian rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus dapat menggunakan rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut pada fungsi trigonometri. Jika belum tahu atau belum hafal bisa lihat dulu di sini. Selanjutnya perhatikan pengurangan antara rumus jumlah dan selisih dua sudut fungsi sinus.
 
Pembuktian Rumus Sin dikali Sin

 
Hasil pengurangan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.

    \[ -2 \cdot sin \; alpha \cdot sin \; \beta = cos \; \left( \alpha + \beta \right) - cos \; \left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti

 
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus sin dikali sin.
Diketahui besar sudut \alpha = 75^{o} dan sudut \beta = 15^{o}. Maka nilai \; \sin \alpha \; sin \beta adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \frac{3}{4} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{4} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  - \frac{1}{4} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  -\frac{3}{4} \]

Pembahasan:

    \[  -2 \; \sin \alpha \; sin \beta = cos \; \left( \alpha + \beta \right) - cos \; \left( \alpha - \beta \right)\]

    \[  -2 \; \sin \alpha \; sin  \beta = cos \; \left( 75^{o} + 15^{o} \right) - cos \; \left( 75^{o} - 15^{o} \right)\]

    \[  -2 \; \sin \alpha \; sin \beta = cos \; 90^{o} - cos \; 60^{o} \]

    \[  -2 \; \sin \alpha \; sin \beta = 0 - \frac{1}{2} \]

    \[  -2 \; \sin \alpha \; sin \beta = - \frac{1}{4} \]

    \[  sin \alpha \; sin \beta = \frac{1}{4} \]

Jawaban: C

 
 

Rumus Cos dikali Sin

Rumus kedua yang akan dibahas adalah rumus cos dikali sin. Kalimat yang dapat digunakan utuk menghafal rumus perkalian cos dan sin adalah dua cos sin sama dengan sin jumlah dikurang sin selisih. Bentuk rumus perkalian cos dikali sin adalah sebagai berikut.

Rumus Perkalian Cosinus dan Sinus

 
Bukti:
Pembuktian rumus cos di kali sin dapat menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut pada fungsi sinus. Perhatikan cara di bawah.
 

Pembuktian Rumus Cosinus dikali Sinus

Hasil pengurangan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.

    \[ 2 \cdot cos \; alpha \cdot sin \; \beta = sin \; \left( \alpha + \beta \right) + sin \; \left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti

 
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus cos dikali sin
Diketahui besar sudut \alpha = 75^{o} dan sudut \beta = 15^{o}. Maka nilai \; \cos \alpha \; sin \beta adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{3 - \sqrt{2}}{4} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \frac{3 - \sqrt{3}}{4} \]

Pembahasan:

    \[  2 \; \cos \alpha \; sin \beta = sin \; \left( \alpha + \beta \right) - sin \; \left( \alpha - \beta \right)\]

    \[  2 \; \cos \alpha \; sin \beta = sin \; \left( 75^{o} + 15^{o} \right) - sin \; \left( 75^{o} - 15^{o} \right)\]

    \[  2 \; \cos \alpha \; sin \beta = sin \; 90^{o} - sin \; 60^{o} \]

    \[  2 \; \cos \alpha \; sin \beta = 1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

    \[  2 \; \cos \alpha \; sin \beta = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \]

    \[  cos \alpha \; sin \beta = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \]

Jawaban: B

 

Rumus Sin dikali Cos

Rumus perkalian sinus dan cosinus yang akan dipelajari lebih lanjut adalah rumus sin dikali cos. Cara untuk menghafal perkalian sin dikali cos dapat menggunakan kalimat dua sin cos sama dengan sin jumlah ditambah sin selisih. Bentuk rumusnya adalah sebagai berikut. Bentuk rumus perkalian sin dikali cos adalah sebagai berikut.

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

 
Bukti:
Pembuktian rumus sin dikali cos dapat menggunakan pengurangan rumus jumlah dan selisih dua sudut fungsi sinus. Langkahnya dapat dilihat pada gambar berikut.
Pembuktian Rumus Sinus dikali Cosinus

 
Hasil penjumlahan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.

    \[ 2 \cdot sin \; alpha \cdot cos \; \beta = sin \; \left( \alpha + \beta \right) + sin \; \left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti

 
Contoh Soal dan Pembahasan Penggunaan Rumus Perkalian Sinus
Diketahui besar sudut \alpha = 75^{o} dan sudut \beta = 15^{o}. Maka nilai \; \sin \alpha \; cos \; \beta adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{3 - \sqrt{2}}{4} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \frac{3 - \sqrt{3}}{4} \]

Pembahasan:

    \[  2 \; \sin \alpha \; cos \; \beta = sin \; \left( \alpha + \beta \right) + sin \; \left( \alpha - \beta \right)\]

    \[  2 \; \sin \alpha \; cos \; \beta = sin \; \left( 75^{o} + 15^{o} \right) + sin \; \left( 75^{o} - 15^{o} \right)\]

    \[  2 \; \sin \alpha \; cos \; \beta = sin \; 90^{o} + sin \; 60^{o} \]

    \[  2 \; \sin \alpha \; cos \; \beta = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

    \[  2 \; \sin \alpha \; cos \; \beta = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]

    \[  sin \alpha \; cos \; \beta = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \]

Jawaban: A

 
 

Rumus Cos dikali Cos

Selanjutnya adalah rumus cos dikali cos. Kalimat yang dapat digunakan untuk menghafal rumus cos dikali cos adalah dua cos cos sama dengan cos jumlah ditambah cos selisih. Rumus cos dikali cos dapat dilihat seperti di bawah.

Rumus Perkalian Cosinus dikali Cosinus
 
Bukti:
Bukti rumus cos dikali cos dapat menggunakan pengurangan rumus jumlah dan selisih dua sudut fungsi cosinus. Selanjutnya perhatikan cara di bawah.

Pembuktian Rumus Cosinus dikali Cosinus

 
Hasil penjumlahan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.

    \[ 2 \cdot cos \; alpha \cdot cos \; \beta = cos \; \left( \alpha + \beta \right) + cos \; \left( \alpha - \beta \right) \]

Terbukti
 
Baca Juga: Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi Sin dan Cos
 
Contoh Soal dan Pembahasan
Diketahui besar sudut \alpha = 75^{o} dan sudut \beta = 15^{o}. Maka nilai \; cos \alpha \; cos \; \beta adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \frac{3}{4} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{3} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \;  \frac{1}{4} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \frac{1}{5} \]

Pembahasan:

    \[  2 \; cos \alpha \; cos \; \beta = cos \; \left( \alpha + \beta \right) + cos \; \left( \alpha - \beta \right)\]

    \[  2 \; cos \alpha \; cos \; \beta = cos \; \left( 75^{o} + 15^{o} \right) + cos \; \left( 75^{o} - 15^{o} \right)\]

    \[  2 \; cos \alpha \; cos \; \beta = cos \; 90^{o} + cos \; 60^{o} \]

    \[  2 \; cos \alpha \; cos \; \beta = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Jawaban: D