Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

By | November 8, 2017

Dalam materi trigonometri, selain ada rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai suatu sudut yang tidak termasuk sudut istimewa juga terdapat rumus trigonometri sudut rangkap. Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus sudut rangkap juga diguanakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut (utamanya untuk bukan sudut istimewa) tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel.

Seperti yang kita ketahui bahwa, besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa adalah 30^{o}, 45^{o}, 60^{o}, 90^{o}, dan lain sebagainya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75^{o}, 105^{o}, dan lain sebagainya.

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap dapat digunakan untuk mencari nilai besar sudut trigonometri di luar sudut istimewa. Misalnya, diketahui bahwa sudut 60^{o} merupakan sudut istimewa sehingga dengan mudah dapat diketahui nilainya. Bagaimanakah sobat idschool dapat mengetahui nilai sudut 120^{o}? Di mana kita mengetahui bahwa sudut 120^{o} bukan merupakan sudut istimewa.?

Di sinilah kegunaan rumus trigonometri sudut rangkap. Nilai 120^{o} merupakan hasil dari 2 \times 60^{o}. Sudut 120^{o} memang bukan merupakan sudut istiewam, namun sudut 60^{o} merupakan sudut istimewa. Dengan memanfaatkan rumus trigonometri, besar nilai sudut 120^{o} dapat diketahui tanpa menggunakan alat bantu hitung.

Baca Juga: Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewanya

Berikutnya, akan diuraikan lebih jelas lagi tentang rumus trigonometri sudut rangkap. Ulasan pertama yang akan diberikan adalah rumus sudut rangkap untuk fungsi sinus.

 
 

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

Rumus Sinus Sudut Rangkap

Bukti:

    \[ sin 2 \alpha  = sin \left( \alpha + \alpha \right) \]

    \[ sin 2 \alpha  = sin \alpha \; cos \alpha + cos \alpha \; sin \alpha \]

    \[ sin 2 \alpha  = sin \alpha \; cos \alpha + sin \alpha \; cos \alpha \]

    \[ sin 2 \alpha  = 2sin \alpha \; cos \alpha \]

Terbukti

Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Sinus dan pembahasannya

Jika sin \alpha \; = \frac{3}{5} dan \alpha merupakan sudut lancip, tentukan nilai sin 2 \alpha.

Pembahasan:

    \[sin \; \alpha = \frac{3}{5} \; \rightarrow \;  cos \alpha = \frac{4}{5} \]

Sehingga,

    \[ sin \; 2 \alpha = 2 \cdot sin \alpha \; cos \alpha \]

    \[ sin \; 2 \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \]

    \[ sin \; 2 \alpha = \frac{6}{25} \]

 

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus tersebut adalah sebagai berikut.

Rumus Cosinus Sudut Rangkap

Bukti:

    \[ cos 2 \alpha = cos \left( \alpha + \alpha \right) \]

    \[ cos 2 \alpha = cos \alpha \; cos \alpha - sin \alpha \; sin \alpha \]

    \[ cos 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha \]

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat kembali rumus identitas trigonometri sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1.

Identitas Trigonometri

    \[ cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha \]

    \[ cos \; 2 \alpha = \left( 1 - sin^{2} \alpha \right) - sin^{2} \alpha \]

    \[ cos \; 2 \alpha = 1 - sin^{2} \alpha - sin^{2} \alpha \]

    \[ cos \; 2 \alpha = 1 - 2sin^{2} \alpha \]

 

    \[ cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha \]

    \[ cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - \left(1 - cos^{2} \alpha \right) \]

    \[ cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha - 1 + cos^{2} \alpha \]

    \[ cos \; 2 \alpha = cos^{2} \alpha + cos^{2} \alpha - 1 \]

    \[ cos \; 2 \alpha = 2 cos^{2} \alpha - 1 \]

Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Cosinus dan pembahasannya

Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120^{o} dengan memanfaatkan rumus pada sudut rangkap!

Pembahasan:

    \[ cos 120^{o} = cos \left( 2 \cdot 60 \right) \]

    \[ cos 120^{o} = cos^{2}60 - sin^{2}60  \]

    \[ cos 120^{o} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} \right)^{2} \]

    \[ cos 120^{o} = \left( \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{3}{4} \right) \]

    \[ cos 120^{o} = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2} \]

Baca Juga: Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewa pada Trigonometri

 

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

Rumus Tangen Sudut Rangkap

Bukti:

    \[tan 2 \alpha = tan \left( \alpha + \alpha \right) \]

    \[tan 2 \alpha = \frac{tan \alpha + tan \alpha}{1- tan \alpha \cdot tan \alpha} \]

    \[tan 2 \alpha = \frac{2 tan \alpha}{1- tan^{2}\alpha} \]

Terbukti

 
Contoh Soal Penggunaan Sudut Rangkap Tangen dan Pembahasannya
Jika diketahui nilai tan \alpha = \frac{2}{3}. Jika sudut \alpha merupakan sudut lancip maka tentukan nilai tan 2 \alpha.
Pembahasan:

    \[ tan 2 \alpha = \frac{2\cdot tan \alpha}{1 - tan^{2} \alpha}\]

    \[ tan 2 \alpha = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1 - \left( \frac{2}{3} \right)^{2}} \]

    \[ tan 2 \alpha = \frac{\frac{4}{3}}{1 - \frac{4}{9} } \]

    \[ tan 2 \alpha = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9} } \]

    \[ tan 2 \alpha = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{5} \]

    \[ tan 2 \alpha = \frac{12}{5} \]

Sekian pembahasan mengenai rumus trigonometri sudut rankap yang meliputi rumus sin sudut rangkap, rumus cos sudut rangkap, dan rumus tan sudut rangkap. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut