Sifat-sifat dan Contoh Soal Komposisi Fungsi

By | December 15, 2017

Sebelum membahas mengenai komposisi fungsi, sebaiknya sobat idschool sudah paham mengenai materi dasar tentang fungsi. Karena, materi mengenai komposisi fungsi merupakan materi lanjutan dari pengertian dasar fungsi tersebut. Komposisi dapat dipahami sebagai gabungan. Sehingga, komposisi fungsi atau yang sering juga disebut sebagai fungsi komposisi merupakan proses penggabungan dari dua fungsi atau lebih. Simbol dari komposisi fungsi adalah \circ yang biasa disebut dengan bundaran. Gambaran mengenai komposisi fungsi dapat dilihat pada alur bagan di bawah.

Komposisi Fungsi

 
Proses pertama (tanda panah bagian atas) adalah fungsi f memetakan himpunan pertama ke himpunan ke dua dilanjutkan pemetaan ke himpunan ke tiga. Sedangkan pada proses ke dua (tanda panah bagian bawah), pemetaan h memetakan anggota himpunan pertama langsung ke himpunan ke tiga.
 
Proses penggabungan fungsi f dan g inilah yang disebut dengan komposisi fungsi. Hasil dari komposisi fungsi f dan g akan sama dengan hasil pemataan langsung oleh fungsi h. Secara matematis, komposisi fungsi di atas dapat disimbolkan seperti persamaan di bawah.

    \[ h(x) \; = \; \left( f \circ g \right) (x)\]

 

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Seperti halnya operasi hitung lain, komposisi fungsi juga memiliki sifat-sifat tertentu. Komposisi fungsi memiliki tiga sifat yaitu tidak komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen identitas. Sifat-sifat komposisi fungsi dapat memudahkan kita untuk menyelesaikan masalah terkait komposisi fungsi dengan tepat. Berikut ini adalah ketiga sifat fungsi komposisi.
 

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

 
Contoh 1
Diketahui f(x) = x^{2} + 4x dan g(x) = -2 + \sqrt{x + 4} dengan x \geq -4 dan x \in R. Fungsi komposisi \left(g  \circ  f \right)(x) adalah .…
A.       2x – 4
B.       x – 2
C.       x + 4
D.       x
E.       2x

 
Pembahasan:

    \[ \left( g \circ f \right) (x)  = g \left( f(x) \right) \]

    \[ \left( g \circ f \right) (x) = g(x^{2} + 4x) \]

    \[ \left( g \circ f \right) (x) = -2 + \sqrt{x^{2} + 4x + 4} \]

    \[\left( g \circ f \right) (x) = -2 + \sqrt{\left( x + 2\right)^{2} } \]

    \[ \left( g \circ f \right) (x) = -2 +  x + 2 \]

    \[ \left( g \circ f \right) (x) = x \]

Jawaban: D

 
Contoh 2
Jika diketahui

    \[ f(x) = \frac{2x}{x + 1} \]

    \[ f \left( g(x) \right) = \frac{x + 2}{3} \]

maka fungsi g(x) yang tepat adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{x - 2}{x + 4} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{x + 2}{x - 4} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{x + 2}{4 - x} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{x - 2}{x + 2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{x + 4}{x - 2} \]

 
Pembahasan:

    \[ f \left( g(x) \right) = \frac{x + 2}{3} \]

    \[ \frac{2 \cdot g(x)}{g(x) + 1} = \frac{x + 2}{3} \]

    \[ 6 \cdot g(x) = \left( x + 2 \right) \left( g(x) + 1 \right) \]

    \[ 6 \cdot g(x) = x \cdot g(x) + x + 2 \cdot g(x) + 2 \]

    \[ 6 \cdot g(x) - 2 \cdot g(x) - x \cdot g(x) =  x  + 2 \]

    \[ 4 \cdot g(x) - x \cdot g(x) =  x  + 2 \]

    \[ \left( 4 - x \right) g(x) = x  + 2 \]

    \[ g(x) = \frac{x  + 2}{4 - x} \]

 
Jawaban: C
 
Baca Juga: Relasi dan Fungsi: Pengertian, Perbedaan, dan Contoh Soal
 
Contoh 3
Diketahui fungsi g(x) = 2x – 1 dan persamaan \left( f \circ g \right)(x) dinyatakan pada persamaan di bawah.

    \[ \left( f \circ g \right)(x) = 4x^{2} + 2x + 2 \]

Maka nilai f(x) adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 3x + 4 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 3x - 4 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} - 3x - 4 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} + 3x + 4 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} + 3x - 2 \]

 
Pembahasan:

    \[ \left( f \circ g \right)(x) = 4x^{2} + 2x + 2 \]

    \[ f \left(  2x - 1 \right) = 4x^{2} + 2x + 2 \]

Misalkan a = 2x – 1, maka

    \[x = \frac{a + 1}{2} \]

 
Selanjutnya, substitusi a dan x hasil pemisalan di atas sehingga diperoleh,

    \[ f \left(  2x - 1 \right) = 4x^{2} + 2x + 2 \]

    \[ f ( a ) = 4 \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 2\left( \frac{a + 1}{2} \right) + 2 \]

    \[ f ( a ) = 4 \left( \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} \right) + a + 1 + 2 \]

    \[ f ( a ) = a^{2} + 2a + 1 + a + 1 + 2 \]

    \[ f ( a ) = a^{2} + 3a + 4 \]

    \[ f ( x ) = x^{2} + 3x + 4 \]

 
Jawaban: D

 
Sekian Pembahasan mengenai komposisi fungsi disertai sifat-sifat komposisi fungsi dan contoh soal komposisi fungsi. Jika ada pertanyaan bisa tinggalkan pada kolom komentar di bawah. Terimakasih telah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat.

 
Baca Juga: Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi