Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak (Polinomial)

By | December 12, 2017

Dua teorema yang tidak boleh ditinggalkan untuk dipelajari pada materi suku banyak (polinomial) adalah teorema sisa dan teorema faktor. Kedua teorema ini akan sangat membantu sobat idschool menyelesaikan variasi soal pada teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak (polinomial). Materi teorema sisa dan teorema faktor masih berhubungan erat dengan pembahasan materi pembagian suku banyak. Pada proses pembagian suku banyak, sobat idschool dapat mengetahui hasil bagi dan sisa hasil bagi dari suatu suku banyak. Dengan menggunakan teorema sisa, sobat idschool dapat mengetahui sisa hasil bagi secara langsung tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Jika pada teorema sisa dapat digunakan untuk mengetahui sisa hasil bagi dari suatu suku banyak, maka teorema faktor digunakan untuk menyelidiki faktor-faktor dari suatu suku banyak. Suatu bilangan merupakan faktor dari suatu suku banyak jika sisa hasil pembagian (yang dihitung menggunakan teorema sisa) adalah nol atau tidak mempunyai sisa. Selanjutnya, simak penjabaran lebih jelasnya mengenai teorema sisa dan teorema faktor pada pembahasan berikut.

 
 

Teorema Sisa

Pembahasan pertama mengenai pembahasan teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak yang akan dibahas adalah teorema sisa. Namun sebelumnya, ingat kembali bentuk suku banyak pada pembagian suku banyak yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan umum berikut.

    \[ f(x) = p(x) \cdot H(x) + S(x) \]

Keterangan:
f(x)   = suku banyak
p(x)   = pembagi suku banyak
H(x)   = hasil bagi suku banyak
S(x)   = sisa suku banyak

 
Perhatikan tiga poin dalam teorema sisa pada gambar di bawah.
 
Teorema Sisa Pada Suku Banyak

 
Contoh penggunaan teorema sisa:
Tentukan sisa hasil bagi f(x) = x^{2} + 3x + 5 oleh x + 2.
 
Pada pembahasan pembagian suku banyak, sobat idschool dapat memperoleh sisanya dengan melakukan pembagian terlebih dahulu kemudian mendapatkan sisanya. Dengan teorema sisa, sobat idschool dapat langsung memperoleh sisanya tanpa harus malakukan pembagian terlebih dahulu. Perhatikan kembali teorema sisa, khususnya pada poin pertama.

 
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x - k), maka sisanya adalah S(x) = f(x).
 
Jadi, untuk mendapatkan sisa pembagian suku banyak, sobat idschool hanya perlu substitusi nilai k pada persamaan suku banyak.
 

    \[ x + 2 \rightarrow k = - 2 \]

 
Sekarang, susbtitusi nilai k = -2 pada f(x) = x^{2} + 3x + 5.

    \[ f(-2) = (-2)^{2} + 3 \cdot (-2) + 5 \]

    \[ f(-2) = 4 - 6 + 5 \]

    \[ f(-2) = 3 \]

 
Berdasarkan teorema sisa dapat disimpulkan bahwa sisa hasil pembagian adalah 3. Perlu bukti? Coba lakukan pembagian f(x) = x^{2} + 3x + 5 dengan (x + 2), hasilnya pasti akan sama.

 
 

Teorema Faktor

Masuk ke pembahasan teorema selanjutnya yaitu teorema faktor. Inti dari teorema faktor adalah suatu pembagi merupakan faktor dari suku banyak jika memiliki sisa nol (0). Jadi, teorema sisa masih diperlukan di sini, yaitu untuk mengetahui sisa dari suatu pembagian suku banyak. Jika sisa pembagian suatu suku banyak adalah nol (0) atau tidak memiliki sisa, maka pembagi tersebut merupakan faktor dari suku banyak. Sebaliknya, jika sisanya tidak nol maka pembagi tersebut bukan merupakan faktor suku banyak.

 
Perhatikan teorema faktor yang diberikan dalam gambar di bawah.
 

Teorema Faktor Pada Suku Banyak

 
Untuk menambah pemahaman sobat idschool dalam memahami teorema sisa, akan ditunjukkan penggunaan teorema sisa untuk menentukan faktor suatu suku banyak atau bukan.

 
Akan ditunjukkan bahwa (x - 1) merupakan faktor dari f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 menggunakan teorema faktor.

 
Pembahasan:
Untuk menunjukkan bahwa (x -  1) merupakan faktor dari f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1, cukup ditunjukkan bahwa f(1) = 0. Perhatikan perhitungan berikut.

    \[ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 \]

    \[ f(1) = (1)^{3} - 3 \cdot (1)^{2} + 3 \cdot (1) - 1 \]

    \[ f(1) = 1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1 \]

    \[ f(1) = 1 - 3 + 3 - 1 \]

    \[ f(1) = 0 \]

Dengan demikian, (x - 1) merupakan faktor dari f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1.
 
Untuk membuktikannya, sobat idschool bisa melakukan pemfaktoran f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 menggunakan cara horner. Faktor dari suatu suku banyak f(x) dapat pula ditentukan dengan menggunakan cara Horner seperti pada contoh berikut.
 

Contoh Soal dan Pembahasan Teorema Faktor pada Suku Banyak

 
Hasil pemfaktoran menghasilkan persamaan di bawah.

    \[ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 \]

    \[ f(x) = (x - 1) (x^{2} - 2x + 1) \]

 
Bentuk f(x) pada persamaan di atas memiliki pangkat tertinggi 2, artinya masih bisa difaktorkan lagi. Cara memfaktorkan persamaan kuadrat tidak perlu menggunakan cara horner, walaupun cara horner tetap bisa digunakan. Namun, bagi yang sudah menguasai cara pemfaktoran persamaan kuadrat, pastinya akan lebih cepat. Jadi, sebaiknya sobat idschool tidak melupakan materi-materi sebelumnya. Sekarang mari kita faktorkan persamaan kuadrat yang terdapat pada persamaan f(x).

 

Persamaan kuadrat yang akan difaktorkan adalah x^{2} - 2x + 1, jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x_{1} dan x_{2} maka cari kedua bilangan yang memenuhi syarat berikut.

    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{-2}{1} = 2 \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{1}{1} = 1 \]

 
Bilangan tersebut adalah 1 dan 1, sehingga hasil faktor persamaan kuadrat x^{2} - x - 2 adalah

    \[ x^{2} - 2x - 1 = (x - 1)(x - 1) \]

 
Bagi yang belum paham cara di atas bisa dilihat kembali cara memfaktorkan persamaan kuadrat.

 
Sehingga, kita peroleh persamaan f(x) menjadi persamaan seperti bentuk berikut.

    \[ x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 = \left( x - 1 \right) \left( x - 1 \right) \left( x - 1 \right) \]

    \[ x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 = \left( x - 1 \right)^{3} \]

 
Jadi, faktor-faktor persamaan dari f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1 adalah (x - 1). Hasil ini sesuai dengan teorema faktor (pembahasan sebelumnya) yang menyatakan bahwa (x - 1) merupakan faktor dari f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1.
 
Baca Juga: Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial
 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Suatu suku banyak f(x) dibagi x - 1 sisa 2, dibagi x - 2 sisa 3. Suatu suku banyak g(x) dibagi x - 1 sisa 5, dibagi x - 2 sisa 4. Jika h(x) = f(x) \cdot g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x^{2} - 3x + 2 adalah .…

    \[ \textrm{A.} \; \; \; -2x + 12 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; -2x + 8 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; -x + 4 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2x + 8 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; x + 4 \]

 
Pembahasan:
Bentuk umum suku banyak h(x) adalah sebagai berikut.

    \[ h(x) = \left( x^{2} - 3x + 2 \right) \cdot H(x) + S(x) \]

    \[ h(x) = \left( x - 2 \right) \left( x - 1 \right) \cdot H(x) + S(x) \]

 
Misalkan S(x) = ax + b, maka bentuk umum h(x) menjadi

    \[ h(x) = \left( x - 2 \right) \left( x - 1 \right) \cdot H(x) + \left( ax + b \right) \]

 
Berdasarkan teorema sisa, maka dapat diperoleh dua persamaan di bawah.

 
Persamaan 1:

    \[ h(1) = S_{f(x)}(1) \cdot S_{g(x)}(1) \]

    \[ \left( 1 - 2 \right) \left( 1 - 1 \right) \cdot H(1) + \left( a \cdot 1 + b \right) = 2 \cdot 5 \]

    \[ -1 \cdot 0 \cdot H(1) +  a + b = 10 \]

    \[  a + b = 10 \]

 
Persamaan 2:

    \[ h(2) = S_{f(x)}(2) \cdot S_{g(x)}(2) \]

    \[ \left( 2 - 2 \right) \left( 2 - 1 \right) \cdot H(2) + \left( a \cdot 2 + b \right) = 3 \cdot 4 \]

    \[ 0 \cdot 1 \cdot H(2) +  2a + b = 12 \]

    \[ 2a + b = 12 \]

 
Mencari nilai a dan b menggunakan metode substitusi.

 
Mencari nilai a:
Metode Eliminasi

 
Mencari nilai b:

    \[ a + b = 10 \]

    \[ 2 + b = 10 \]

    \[ b = 10 - 2 = 8 \]

 
Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x^{2} - 3x + 2 adalah

    \[ ax + b = 2x + 8 \]

 
Jawaban: D

 
Sekian pembahasan mengenai teorema sisa dan teorema faktor suku banyak (polinomial). Jika ada yang bagian yang tidak jelas atau ada bagian yang kurang teliti dalam menyampaikan bisa tinggalkan di kolom komentar. Terimakasih sudah berkunjung ke idschool.net, semoga bermanfaat!

 
Baca Juga: Pembagian Suku Banyak