Bangun Ruang Sisi Lengkung

By | July 26, 2017

Sebelumnya, kita sudah membahas mengenai bangun ruang sisi datar. Selanjutnya adalah pembahasan mengenai bangun ruang sisi lengkung. Bangun ruang merupakan dimensi tiga. Artinya, benda tersebut mempunyai ruang yang bisa ditempati. Sisi lengkung dicirkan dengan permukaan yang tidak datar. Contoh bangun ruang sisi lengkung adalah tabug, kerucut, dan bola. Bangun ruang sisi lengkung dapat digambarkan sebagai bangun ruang yang memiliki sisi lengkung pada salah satu sisinya.

 
 

Tabung

Bangun ruang pertama yang akan kita pelajari adalah tabung. Tabung adalah bangun ruang yang berbentuk prisma tegak beraturan yang alas dan tutupnya berupa lingkaran. Gambar tabung dapat dilihat seperti gambar di bawah.
Bangun Ruang Sisi Lengkung

 
Karakteristik Tabung:
      Mempunyai 3 bidang sisi, yaitu bidang alas, bidang tutup, dan sisi tegak.
      Sisi tegak pada tabung merupakan bidang lengkung atau disebut selimut tabung.
      Tabung mempunyai dua rusuk.
      Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran tutup.

 
Jaring-Jaring Tabung
Jaring-jaring Tabung

 
Rumus pada Tabung

Luas alas/tutup tabung = Luas Lingkaran

    \[L_{alas} = \pi r^{2} \]

    \[L_{tutup} = \pi r^{2} \]

Luas selimut tabung

    \[L_{s. \; tabung} = 2 \pi r t \]

Luas permukaan tabung

    \[ L_{p. \; tabung} = 2 \times L_{alas} + L_{s. \; tabung}\]

    \[ L_{p. \; tabung} = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r t\]

    \[ L_{p. \; tabung} = 2 \pi r (r + t) \]

Luas permukaan tabung tanpa tutup

    \[ L_{p. \; tabung} = \times L_{alas} + L_{s. \; tabung}\]

    \[ L_{p. \; tabung} = \pi r^{2} + 2 \pi r t\]

    \[ L_{p. \; tabung} = \pi r (r + 2t) \]

Volume tabung

    \[V_{tabung} = L_{alas} \times t \]

    \[V_{tabung} = \pi r^{2} t \]

 
 

Kerucut

Bangun ruang sisi lengkung kedua yang akan dibahas adalah kerucut. Kerucut merupakan limas dengan alasnya berbentuk lingkaran. Gambar kerucut dapat dilihat seperti gambar di bawah.
 
bangun ruang sisi lengkung

 
Karakteristik Kerucut
      Mempunyai 2 bidang sisi, yaitu bidang alas (lingkaran) dan bidang lengkung (selimut kerucut).
      Memiliki 1 (satu) buah rusuk.
      Terdapat 1 (satu) buah titik sudut.

 
Jaring-Jaring Kerucut
Jaring-jaring Kerucut

 
Rumus pada Kerucut

Panjang garis pelukis (s)

    \[s = \sqrt{r^{2} + t^{2}} \]

Luas selimut kerucut

    \[L_{s. \; kerucut} = \pi r s \]

Luas permukaan kerucut

    \[L_{p.\; tabung} = L_{alas} + L_{s. \; kerucut} \]

    \[L_{p.\; tabung} = \pi r^{2} + \pi r s \]

    \[L_{p.\; tabung} = \pi r (r + s) \]

Volume Kerucut

    \[ V_{kerucut} = \frac{1}{3} \times L_{alas} \times t \]

    \[ V_{kerucut} = \frac{1}{3} \pi r^{2} t \]

 
 

Bola

Selanjutnya adalah bangun ruang sisi lengkung yang ketiga yaitu Bola. Bola digambarkan seperti gambar di bawah.
 
bangun ruang sisi lengkung

 
Karakteristik Bola
      Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang sisi yang berbentuk lengkung.
      Bola tidak mempunyai rusuk dan tidak mempunyai titik sudut.

 
Rumus pada Bola

Luas seluruh permukaan bola

    \[L_{p. \; bola} = 4 \pi r^{2} \]

Luas permukaan setengah bola

    \[L_{p. \frac{1}{2} \; bola} = 2 \pi r^{2} \]

Luas permukaan setengah bola padat

    \[L_{p. \; bola \; padat} = 3 \pi r^{2} \]

Volume bola

    \[V_{bola} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \]

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Sebuah kerucut mempunyai jari-jari alas dengan panjang 5 cm dan panjang garis pelukis 13 cm. Tinggi kerucut tersebut adalah ….
A. 7 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 12 cm
 
SOAL UN Matematika 2016

Pembahasan:
Berdasarkan soal dapat diketahui bahwa
Jari-jari kerucut = r = 5 cm
Garis pelukis kerucut = s = 13 cm
Perhatikan \Delta TOP

Cari tinggi kerucut terlebih dahulu (gunakan teorema phytagoras).

    \[ t =\sqrt{s^{2} - r^{2}} \]

    \[ t =\sqrt{13^{2} - 5^{2}} \]

    \[ t =\sqrt{169 - 25} \]

    \[ t =\sqrt{144} \; = \; 12\; cm \]

Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 12 cm.
Jawaban: D

 
Contoh 2

Perhatikan gambar di bawah!
Soal UN Matematika SMP 2016
Jika luas permukaan bola 90 cm2, maka luas seluruh permukaan tabung adalah ….

    \[ \textrm{A.	}160 \textrm{ cm}^{2}\]

    \[ \textrm{B.	}150 \textrm{ cm}^{2}\]

    \[ \textrm{C.	}135 \textrm{ cm}^{2}\]

    \[ \textrm{D.	}120 \textrm{ cm}^{2}\]

 
SOAL UN Matematika SMP 2016

Pembahasan:
Persamaan pada Bola

    \[ L_{p. \; bola = 4 \pi r^{2}} \]

    \[ 4 \pi r^{2} = 90 \]

maka

    \[ 2 \pi r^{2} = 45 \]

 
Persamaan pada Tabung
Jari-jari tabung = jari-jari bola = r
Tinggi tabung = 2 \times jari-jari bola = 2r

    \[L_{p. tabung} = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r t \]

    \[L_{p. tabung} = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r (2r) \]

    \[L_{p. tabung} = 2 \pi r^{2} + 4 \pi r^{2}) \]

    \[L_{p. tabung} = 2 \pi r^{2} + 2 \times 2 \pi r^{2}) \]

    \[L_{p. tabung} = 45 + 2 \times 45 \]

    \[L_{p. tabung} = 45 + 90 = 135 \; cm^{2}\]

Rumus cepat!!!
Jika bola di dalam tabung menyinggung alas dan tutup tabung (r_{bola} = r_{tabung}) maka,

    \[L_{tabung} = \frac{3}{2} \times L_{bola}\]

    \[L_{tabung} = \frac{3}{2} \times 90\]

    \[L_{tabung} = 135 \; cm^{2} \]

Jadi, luas seluruh permukaan tabung adalah 135 \textrm{cm}^{2}.
Jawaban : C

 
Contoh 3

Sebuah kerucut mempunyai volume 27 cm^{3}. Jika diameter kerucut diperbesar 3 kali dan tingginya diperbesar 2 kali, maka volume kerucut tersebut adalah ….

    \[ \textrm{A.	}972 \textrm{ cm}^{3}\]

    \[ \textrm{B.	}486 \textrm{ cm}^{3}\]

    \[ \textrm{C.	}324 \textrm{ cm}^{3}\]

    \[ \textrm{D.	}162 \textrm{ cm}^{3}\]

 
SOAL UN Matematika SMP 2016

Pembahasan:
Misalkan jari-jari kerucut pertama adalah r_{1} maka,

    \[ V_{kerucut} = 27 \]

    \[\frac{1}{3} \pi r_1^2t_{1} = 27 \]

Berdasarkan keterangan pada soal: diameter kerucut diperbesar 3 kali.

    \[d_{2} = 3 \times d_{1} \]

    \[\frac{1}{2}r_{2} = 3 \times \frac{1}{2} r_{1} \]

    \[r_{2} = 3 \times r_{1} \]

Berdasarkan pada soal: tingginya diperbesar 2 kali.

    \[ t_{2} = 2t_{1} \]

Sehingga,

    \[V_{2} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 t_{2} \]

    \[V_{2} = \frac{1}{3} \pi \times (3r_{1})^2 \times 2t_{1}\]

    \[V_{2} = \frac{1}{3} \pi \times 9r_1^2 \times 2t_{1}\]

    \[V_{2} = 18 \times \frac{1}{3} \pi r_1^2 t_{1}\]

    \[V_{2} = 18 \times 27 = 486 \; cm^{3}\]

Jawaban: B

Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!